（2012•眉山一模）設函數(shù)f（x）對其定義域內(nèi)的任意實數(shù)x1與x2都有f(
x1+x2
2
)≥
f(x1)+f(x2)
2
，則稱函數(shù)f（x）為上凸函數(shù)． 若函數(shù)f（x）為上凸函數(shù)，則對定義域內(nèi)任意x1、x2、x3，…，xn都有f(
x1+x2+…+xn
n
)≥
f(x1)+f(x2)+…+f(xn)
n
（當x1=x2=x3=…=xn時等號成立），稱此不等式為琴生不等式，現(xiàn)有下列命題：
①f（x）=lnx（x＞0）是上凸函數(shù)；
②二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）是上凸函數(shù)的充要條件是a＞0；
③f（x）是上凸函數(shù)，若A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是f（x）圖象上任意兩點，點C在線段AB上，且
AC
=λ
CB
，則f(
x1+λx2
1+λ
)≥
f(x1)+λf(x2)
1+λ
；
④設A，B，C是一個三角形的三個內(nèi)角，則sinA+sinB+sinC的最大值是
3
3
2
．
其中，正確命題的序號是
①③④
①③④
（寫出所有你認為正確命題的序號）．
分析：作圖可知①正確，②不正確．對于③，如圖，因為f（x）上凸函數(shù)，則點C在點D的下方，點C的縱坐標為
f(x1)+λf(x2)
1+λ
，點D的坐標為(
x1+λx2
1+λ
，f(
x1+λx2
1+λ
))，故f(
x1+λx2
1+λ
)≥f(
x1+λx2
1+λ
)．對于④，因為f（x）=sinx在(0，
π
2
)上是凸函數(shù)，由琴生不等式知
3
2
≥
sinA+sinB+sinC
3
．
解答：解：作圖可知①正確，②不正確．
對于③，如圖，因為f（x）上凸函數(shù)，則點C在點D的下方，點C的縱坐標為
f(x1)+λf(x2)
1+λ
，
點D的坐標為(
x1+λx2
1+λ
，f(
x1+λx2
1+λ
))，
于是得f(
x1+λx2
1+λ
)≥f(
x1+λx2
1+λ
)，即③正確．
對于④，因為f（x）=sinx在(0，
π
2
)上是凸函數(shù)，
由琴生不等式知sin
A+B+C
3
≥
sinA+sinB+sinC
3
，
即
3
2
≥
sinA+sinB+sinC
3
，
所以sinA+sinB+sinC≤
3
3
2
，
當A=B=C時，�、苷_．
綜上所述，正確命題是①③④．
點評：本題考查命題真假的判斷與應用，解題時要認真審題，注意數(shù)形結合思想的靈活運用，挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•眉山一模）不等式
2xx-3
＜1的解集是
{x|-3＜x＜3}
{x|-3＜x＜3}
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•眉山一模）在對我市普通高中學生某項身體素質(zhì)的測試中．測量結果ξ服從正態(tài)分布N（1，σ2）（σ＞0），若ξ在（0，2）內(nèi)取值的概率為0.8，則ξ在（0，1）內(nèi)取值的概率為（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•眉山一模）在地球北緯45°圈上有A、B兩點，點A在西經(jīng)l0°，點B在東經(jīng)80°，設地球半徑為R，則A、B兩點的球面距離為
πR
3
πR
3
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•眉山一模）已知正項數(shù)列{an}滿足a1=1，
a
2
n+1
-
a
2
n
-2an+1-2an=0(n∈N*)．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）若Cn+1-Cn=an+1，且C1=1，求{Cn}的通項公式；
（Ⅲ）設bn=
an+1
2n
，Tn=b1+b2+b3+…+bn，求Tn．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•眉山一模）函數(shù)f（x）=ax3-6ax2+3bx+b，其圖象在x=2處的切線方程為3x+y-11=0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若關于x的方程f(x)-m=0在[
12
，4]上恰有兩個不等實根，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）函數(shù)y=f（x）圖象是否存在對稱中心？若存在，求出對稱中以后坐標；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案