(2012•眉山一模)設函數(shù)f(x)對其定義域內(nèi)的任意實數(shù)x1x2都有f(
x1+x2
2
)≥
f(x1)+f(x2)
2
,則稱函數(shù)f(x)為上凸函數(shù). 若函數(shù)f(x)為上凸函數(shù),則對定義域內(nèi)任意x1、x2、x3,…,xn都有f(
x1+x2+…+xn
n
)≥
f(x1)+f(x2)+…+f(xn)
n
(當x1=x2=x3=…=xn時等號成立),稱此不等式為琴生不等式,現(xiàn)有下列命題:
①f(x)=lnx(x>0)是上凸函數(shù);
②二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是上凸函數(shù)的充要條件是a>0;
③f(x)是上凸函數(shù),若A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是f(x)圖象上任意兩點,點C在線段AB上,且
AC
CB
,則f(
x1x2
1+λ
)≥
f(x1)+λf(x2)
1+λ
;
④設A,B,C是一個三角形的三個內(nèi)角,則sinA+sinB+sinC的最大值是
3
3
2

其中,正確命題的序號是
①③④
①③④
(寫出所有你認為正確命題的序號).
分析:作圖可知①正確,②不正確.對于③,如圖,因為f(x)上凸函數(shù),則點C在點D的下方,點C的縱坐標為
f(x1)+λf(x2)
1+λ
,點D的坐標為(
x1x2
1+λ
,f(
x1x2
1+λ
))
,故f(
x1x2
1+λ
)
f(
x1x2
1+λ
)
.對于④,因為f(x)=sinx在(0,
π
2
)
上是凸函數(shù),由琴生不等式知
3
2
sinA+sinB+sinC
3
解答:解:作圖可知①正確,②不正確.
對于③,如圖,因為f(x)上凸函數(shù),則點C在點D的下方,點C的縱坐標為
f(x1)+λf(x2)
1+λ
,
點D的坐標為(
x1x2
1+λ
,f(
x1x2
1+λ
))
,
于是得f(
x1x2
1+λ
)
f(
x1x2
1+λ
)
,即③正確.
對于④,因為f(x)=sinx在(0,
π
2
)
上是凸函數(shù),
由琴生不等式知sin
A+B+C
3
sinA+sinB+sinC
3
,
3
2
sinA+sinB+sinC
3
,
所以sinA+sinB+sinC≤
3
3
2
,
當A=B=C時,、苷_.
綜上所述,正確命題是①③④.
點評:本題考查命題真假的判斷與應用,解題時要認真審題,注意數(shù)形結合思想的靈活運用,挖掘題設中的隱含條件,合理地進行等價轉(zhuǎn)化.
練習冊系列答案
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2xx-3
<1
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{x|-3<x<3}
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πR
3
πR
3

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a
2
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-
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2
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2n
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(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
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12
,4]
上恰有兩個不等實根,求實數(shù)m的取值范圍;
(Ⅲ)函數(shù)y=f(x)圖象是否存在對稱中心?若存在,求出對稱中以后坐標;若不存在,請說明理由.

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