Question

已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=（x²+1）（x+a）．
（1）若f′（-1）=0，求函數(shù)y=f（x）在[-

3

2

，1]上的極大值和極小值；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，f′（-1）=0，即可求出a的值，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，繼而得到函數(shù)y=f（x）在[-

3

2

，1]上的極大值和極小值；
（2）由于函數(shù)f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，得到f′（x）=0有實(shí)數(shù)解，再由△≥0，即可求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f′（-1）=0，∴3-2a+1=0，即a=2．
∴f′(x)=3x2+4x+1=3(x+

1

3

)(x+1)，
由f′（x）＞0，得x＜-1或x＞-

1

3

；
由f′（x）＜0，得-1＜x＜-

1

3

，
因此，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(-

3

2

， -1)，(-

1

3

， 1)；單調(diào)減區(qū)間為(-1， -

1

3

)．
f（x）在x=-1取得極大值為f（-1）=2；f（x）在x=-

1

3

取得極小值為f(-

1

3

)=

50

27

．   
（2）∵f（x）=x³+ax²+x+a，∴f′（x）=3x²+2ax+1．
∵函數(shù)f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，∴f′（x）=0有實(shí)數(shù)解．
∴△=4a²-4×3×1≥0，∴a²≥3，即 a≤-

3

或a≥

3

．
因此，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞， -

3

]∪[

3

， +∞)．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，屬于中檔題．