Question

如圖，圓C₁：（x-a）²+y²=r²（r＞0）與拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的一個交點M（2，1），且拋物線在點M處的切線過圓心C₁．
（Ⅰ）求C₁和C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若點N為圓C₁上的一動點，求

NC1

•

MC1

的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)M在拋物線C₂上，求出拋物線方程，進(jìn)而得到C₂在點M處的切線方程求出圓心的坐標(biāo)，再結(jié)合M在圓C₁上即可求出圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）設(shè)N（x，y），表示出兩個向量即可得到

NC1

•

MC1

=x+y-1，再令x+y-1=t，代入圓的方程，然后利用方程有根即△≥0得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得：把M（2，1）代入C₂：x²=2py（p＞0），
解得p=2，
所以C₂：x²=4y（2分）
由y=

1

4

x2得y′=

1

2

x，
所以C₂在點M處的切線方程為y-1=x-2，（3分）
令y=0有x=1．
因為拋物線在點M處的切線過圓心C₁，
所以圓心C₁（1，0），（4分）
又因為M （2，1）在圓C₁上
所以（2-1）²+1=r²，
解得r²=2，
故C₁：（x-1）²+y²=2（6分）
（Ⅱ）設(shè)N（x，y），則

NC1

=(1-x，-y)，

MC1

=(-1，-1)，
所以

NC1

•

MC1

=x+y-1，（8分）
令x+y-1=t，代入（x-1）²+y²=2得（y-t）²+y²=2，
整理得2y²-2ty+t²-2=0（10分）
由△=4t²-8（t²-2）≥0得-2≤t≤2
所以

NC1

•

MC1

的取值范圍為[-2，2]．（12分）

點評：本題主要考查圓與圓錐曲線的綜合問題，以及向量的數(shù)量積，并且其中涉及到拋物線以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了基本的分析問題的能力和基礎(chǔ)的運算能力．