Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+bx+4
（1）若f（x）為偶函數(shù)，求b的值；
（2）若f（x）有零點(diǎn)，求b的取值范圍；
（3）求f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值g（b）．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x），列出等式，求出b的值即可；
（2）根據(jù)f（x）有零點(diǎn)，可得△≥0，據(jù)此求出b的取值范圍即可；
（3）首先求出f（x）的對稱軸x=-

b

2

，然后分①-

b

2

≥0，②-

b

2

＜0兩種情況討論，求出f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值g（b）即可．

解答： 解（1）因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，
所以x²+bx+4=x²-bx+4，
解得b=0；
（2）因?yàn)閒（x）有零點(diǎn)，
所以△=b²-16≥0，
解得b≥4或b≤-4；
（3）因?yàn)閒（x）的對稱軸為x=-

b

2

，
①-

b

2

≥0，即b≤0時(shí)，
g（b）=f（-1）=5-b；
②-

b

2

＜0，即b＞0時(shí)，
g（b）=f（1）=5+b．
綜上所述：g(b)=

5-b，b≤0 5+b，b＞0

．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)奇偶性質(zhì)的運(yùn)用，以及二次函數(shù)的零點(diǎn)、某個(gè)區(qū)間上的最值的求法，屬于基礎(chǔ)題．