Question

已知函數(shù)f（x）=（2ax-x²）e^ax，其中a為常數(shù)，且a≥0．
（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間(

2

，2)上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由題意把a代入，先使得函數(shù)解析式具體，再利用函數(shù)在定義域下導函數(shù)隨自變量x的范圍不同其正負符號也不同，得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性的判斷，從而零用極值的定義得到函數(shù)的極值；
（II）由題意等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上恒成立問題，最終歸結(jié)為求函數(shù)在定義域下求最值．

解答：解法一：（Ⅰ）依題意得f（x）=（2x-x²）e^x，所以f'（x）=（2-x²）e^x，
令f′（x）=0，得x=±

2

，
當x∈(-∞，-

2

)時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間單調(diào)遞減；
當x∈(-

2

，

2

)時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞增；
當x∈(

2

，+∞)時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞減；
由上可知，x=-

2

是函數(shù)f（x）的極小值點，x=

2

是函數(shù)f（x）的極大值點．

（Ⅱ）f'（x）=[-ax²+（2a²-2）x+2a]e^ax，
由函數(shù)f（x）在區(qū)間(

2

，2)上單調(diào)遞減可知：f′（x）≤0對任意x∈(

2

，2)恒成立，
當a=0時，f′（x）=-2x，顯然f'（x）≤0對任意x∈(

2

，2)恒成立；
當a＞0時，f′（x）≤0等價于ax²-（2a²-2）x-2a≥0，
因為x∈(

2

，2)，不等式ax²-（2a²-2）x-2a≥0等價于x-

2

x

≥

2a2-2

a

令g（x）=x-

2

x

，x∈[

2

，2]
則g'（x）=1+

2

x2

，在[

2

，2]上顯然有g(shù)′（x）＞0恒成立，所以函數(shù)g（x）在[

2

，2]單調(diào)遞增，
所以g（x）在[

2

，2]上的最小值為g(

2

)=0
由于f′（x）≤0對任意x∈(

2

，2)恒成立等價于x-

2

x

≥

2a2-2

a

對任意x∈(

2

，2)恒成立，
需且只需g（x）_min≥

2a2-2

a

，即0≥

2a2-2

a

，解得-1≤a≤1，因為a＞0，所以0＜a≤1．
綜合上述，若函數(shù)f（x）在區(qū)間(

2

，2)上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為0≤a≤1．

點評：（I）此題考查了利用導函數(shù)求其函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間，還考查了求解一元二次不等式；
（II）此題首先考查了數(shù)學�？嫉牡葍r轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，還考查了函數(shù)在定義域下恒成立問題的實質(zhì)為求函數(shù)在定義域下的最值．