Question

已知函數f（x）=（m-1）x+

1

x

，且f（1）=2；
①求出函數f（x）的解析表達式，并判斷奇偶性；
②證明函數f（x）在[1，+∞）上是增函數．

Answer 1

分析：①利用函數奇偶性的定義進行判斷．②利用單調性的定義證明函數的單調性．

解答：解：①由f（x）=（m-1）x+

1

x

，且f（1）=2；得m=2，
解析式為f（x）=x+

1

x

，且（x≠0），由定義域關于原點對稱，
且f(-x)=-x+

1

-x

=-(x+

1

x

)=-f(x)，
∴f（x）在定義域內為奇函數．
②任設1≤x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=x1+

1

x1

-x2-

1

x2

═

(x2-x1)(1-x1x2)

x1x2

，
因為1≤x₁1，1-x₁x₂0，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以函數f（x）在[1，+∞）上是增函數．

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的判斷，要求熟練掌握利用定義法判斷函數的奇偶性和單調性．