Question

如圖所示，ADB為半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且OD⊥AB，Q為線段OD的中點(diǎn)，已知|AB|=4，曲線C過Q點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)且保持|PA|+|PB|的值不變．

(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線C的方程；

(2)過D點(diǎn)的直線與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)M、N，且M在D、N之間，設(shè)，求的取值范圍．

Answer 1

解：(1)分別以AB、OD所在直線為軸、軸，O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，

∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2．

    ∴曲線C為以原點(diǎn)為中心，A、B為焦點(diǎn)的橢圓．

設(shè)其長半軸為，短半軸為b，半焦距為c，則2，

∴．，，∴曲線C的方程為．

(2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可解得．

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

將點(diǎn)M(，)、N(，)代入曲線方程,

得(1+5²)²+20+15=0．

    △=(20)²―4×15(1+5²)>0，得²>．

    ，

分析可知面，即，

    

  由式①②可得，∵，

  ∴即.

∵在D與N之間，∴DM<DN，∴，即得

  綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為