(文)(1)用坐標法證明公式:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;
(2)證明:cos(α+β)cos(α-β)=cos2α-sin2β.
(1)證明:如圖,在直角坐標系xOy內做單位圓O,并作出角α、β,使角α、β 的始邊為Ox軸,
角α、β的終邊與單位圓的交點分別為A、B,則
=(cosα,sinα),
=(cosβ,sinβ).
∴
=(cosα,sinα)•(cosβ,sinβ )=cosαcosβ+sinα sinβ.
設
與
的夾角為θ,則 θ=2kπ+α-β,k∈z,且
=
=cosθ.
∴cosθ=cos(α-β)=cosαcosβ+sinα sinβ,故cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 成立.
(2)證明:∵cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,
∴cos(α+β)cos(α-β)=(cosαcosβ+sinαsinβ)(cosαcosβ-sinαsinβ)=cos
2αcos
2β-sin
2α•sin
2β
=cos
2α(1-sin
2β)-sin
2α•sin
2β=cos
2α-sin
2β.
∴cos(α+β)cos(α-β)=cos
2α-sin
2β 成立.
分析:(1)如圖,在直角坐標系xOy內做單位圓O,并作出角α、β,求出
=cosαcosβ+sinα sinβ,設
與
的夾角為θ,則 θ=2kπ+α-β,k∈z,且
=
=cosθ,由此可得所證的結論成立.
(2)由 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,可得cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,利用同角三角函數(shù)間的關系化簡
cos(α+β)cos(α-β)=cos
2α-sin
2β,命題得證.
點評:本小題主要考查兩角和的正、余弦公式、誘導公式、同角三角函數(shù)間的關系等基礎知識及運算能力.