Question

記函數(shù)f（x）=f₁（x），f（f（x））=f₂（x），它們定義域的交集為D，若對任意的x∈D，f₂（x）=x，則稱f（x）是集合M的元素，
例如f（x）=-x+1，對任意x∈R，f₂（x）=f（f（x））=-（-x+1）+1=x，故f（x）=-x+1∈M．
（1）設函數(shù)f（x）=log₂（1-2^x），判斷f（x）是否是M的元素，并求f（x）的反函數(shù)f^-1（x）；
（2）（a＜0），求使f（x）＜1成立的x的范圍．

Answer 1

解：（1）∵
∴f（x）=log₂（1-2^x）∈M
設y=log₂（1-2^x）
由0＜1-2^x＜1解得：x＜0，y＜0
由y=log₂（1-2^x）得2^y=1-2^x，反函數(shù)為y=log_a（1-a^x），（x＜0）
（2）∵，
∴f₂（x）=f（f（x））=x對一切定義域中x恒成立．，
解得：（a+b）x²-（a²-b²）x=0恒成立，故a+b=0
由f（x）＜1，得到，，由a＜0，，
故x的范圍為：或 x＜a
分析：（1）根據(jù)題中的定義判斷f（x）是否是M的元素即可．再求得f（x）的反函數(shù)f^-1（x）；
（2）根據(jù)定義，問題可轉(zhuǎn)換為f₂（x）=f（f（x））=x對一切定義域中x恒成立．，從而可得：（a+b）x²-（a²-b²）x=0恒成立，即a+b=0，故可解不等式，即可求使f（x）＜1成立的x的范圍．
點評：本題以函數(shù)為載體，考查新定義，根據(jù)是對新定義的理解，同時考查學生等價轉(zhuǎn)化問題的能力．