Question

如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上一點C，且OA=OB，CA=CB，⊙O交直線OB于點E、D．
（Ⅰ）求證：直線AB是⊙O的切線；
（Ⅱ）若tan∠CED=

1

2

，⊙O的半徑為6，求OA的長．

Answer 1

考點：弦切角,圓的切線的判定定理的證明

專題：立體幾何

分析：（I）利用等腰三角形的性質(zhì)和切線的定義即可證明；
（II）利用圓的性質(zhì)可得

CD

EC

=

1

2

．再利用切線的性質(zhì)可得△CBD∽△EBC，于是

BD

BC

=

CD

EC

=

1

2

．設(shè)BD=x，BC=2x，利用切割線定理可得BC²=BD•BE，代入解出即可．

解答： （Ⅰ）證明：如圖，連接OC，
∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB，∴AB是⊙O的切線．
（Ⅱ）∵ED是直徑，∴∠ECD=90°，
在Rt△BCD中，∵tan∠CED=

1

2

，∴

CD

EC

=

1

2

．
∵AB是⊙O的切線，
∴∠BCD=∠E．
又∵∠CBD=∠EBC，
∴△CBD∽△EBC，∴

BD

BC

=

CD

EC

=

1

2

．
設(shè)BD=x，BC=2x，
又BC²=BD•BE，∴（2x）²=x•（x+12）．
解得：x₁=0，x₂=4，
∵BD=x＞0，∴BD=4．
∴OA=OB=BD+OD=4+6=10．

點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、切線的定義、圓的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、切割線定理等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．