【題目】已知函數(shù).
(1)若在處的切線方程為,求實(shí)數(shù)的值;
(2)證明:當(dāng)時(shí),在上有兩個(gè)極值點(diǎn);
(3)設(shè),若在上是單調(diào)減函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1),;(2)詳見解析;(3).
【解析】
(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),通過切線的斜可求出的值,把切點(diǎn)代入切線方程可求出的值;
(2)將原問題轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn),再對(duì)求導(dǎo),判斷其在上的單調(diào)性,然后結(jié)合零點(diǎn)存在定理證明;
(3)先將函數(shù)整理成,,令,通過求導(dǎo)、換元和構(gòu)造函數(shù)可證明函數(shù)在上單調(diào)遞增.然后分①,②和③三類情況,分別討論在滿足在上是單調(diào)減函數(shù)的情形下的取值范圍.
(1),,解得:,
又,,解得:;
(2),
在上有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn),
,
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;
在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,,
又,,
在和上各有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn),
在上有兩個(gè)極值點(diǎn);
(3),,
令,則,
令,設(shè),,則,
在上單調(diào)遞增,,
即當(dāng)時(shí),,,在上單調(diào)遞增.
①當(dāng)時(shí),,
在上是減函數(shù),,
令,
則恒成立,在上單調(diào)遞減,
,解得:;
②當(dāng),即時(shí),,
由①知:,
在上是減函數(shù),恒成立,
即對(duì)恒成立,
令,,
則,
在上單調(diào)遞減,,
,又,;
③若,在上單調(diào)遞增,
,
存在唯一的使得,此時(shí),
而,,在上不單調(diào),不合題意;
綜上所述:實(shí)數(shù)的取值范圍為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下表為年至年某百貨零售企業(yè)的線下銷售額(單位:萬元),其中年份代碼年份.
年份代碼 | ||||
線下銷售額 |
(1)已知與具有線性相關(guān)關(guān)系,求關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測(cè)年該百貨零售企業(yè)的線下銷售額;
(2)隨著網(wǎng)絡(luò)購物的飛速發(fā)展,有不少顧客對(duì)該百貨零售企業(yè)的線下銷售額持續(xù)增長(zhǎng)表示懷疑,某調(diào)查平臺(tái)為了解顧客對(duì)該百貨零售企業(yè)的線下銷售額持續(xù)增長(zhǎng)的看法,隨機(jī)調(diào)查了位男顧客、位女顧客(每位顧客從“持樂觀態(tài)度”和“持不樂觀態(tài)度”中任選一種),其中對(duì)該百貨零售企業(yè)的線下銷售額持續(xù)增長(zhǎng)持樂觀態(tài)度的男顧客有人、女顧客有人,能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為對(duì)該百貨零售企業(yè)的線下銷售額持續(xù)增長(zhǎng)所持的態(tài)度與性別有關(guān)?
參考公式及數(shù)據(jù):.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),準(zhǔn)線方程為,為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn),以為圓心,為半徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線交于、兩點(diǎn),過、分別作準(zhǔn)線的垂線交拋物線于點(diǎn)、.
(1)求拋物線的方程;
(2)證明:直線過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一款小游戲的規(guī)則如下:每輪游戲要進(jìn)行三次,每次游戲都需要從裝有大小相同的2個(gè)紅球,3個(gè)白球的袋中隨機(jī)摸出2個(gè)球,若摸出的“兩個(gè)都是紅球”出現(xiàn)3次獲得200分,若摸出“兩個(gè)都是紅球”出現(xiàn)1次或2次獲得20分,若摸出“兩個(gè)都是紅球”出現(xiàn)0次則扣除10分(即獲得分).
(1)設(shè)每輪游戲中出現(xiàn)“摸出兩個(gè)都是紅球”的次數(shù)為,求的分布列;
(2)玩過這款游戲的許多人發(fā)現(xiàn),若干輪游戲后,與最初的分?jǐn)?shù)相比,分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了,請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析解釋上述現(xiàn)象.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,直線與曲線交于兩點(diǎn).
(1)求直線l的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】無線電技術(shù)在航海中有很廣泛的應(yīng)用,無線電波可以作為各種信息的載體.現(xiàn)有一艘航行中的輪船需要與陸地上的基站進(jìn)行通信,其連續(xù)向基站拍發(fā)若干次呼叫信號(hào),每次呼叫信號(hào)被基站收到的概率都是0.2,基站收到呼叫信號(hào)后立即向輪船拍發(fā)回答信號(hào),回答信號(hào)一定能被輪船收到.
(Ⅰ)若要保證基站收到信號(hào)的概率大于0.99,求輪船至少要拍發(fā)多少次呼叫信號(hào).
(Ⅱ)設(shè)(Ⅰ)中求得的結(jié)果為.若輪船第一次拍發(fā)呼叫信號(hào)后,每隔5秒鐘拍發(fā)下一次,直到收到回答信號(hào)為止,已知該輪船最多拍發(fā)次呼叫信號(hào),且無線電信號(hào)在輪船與基站之間一個(gè)來回需要16秒,設(shè)輪船停止拍發(fā)時(shí),一共拍發(fā)了次呼叫信號(hào),求的數(shù)學(xué)期望(結(jié)果精確到0.01).
參考數(shù)據(jù):.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,,且
(1)若函數(shù)在處取得極值,試求函數(shù)的解析式及單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè),為的導(dǎo)函數(shù),若存在,使成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列滿足如下條件:①;②若數(shù)列滿足其中則稱為的“伴隨數(shù)列”.
(I)數(shù)列是否存在“伴隨數(shù)列”,若存在,寫出其“伴隨數(shù)列”;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(II)若為的“伴隨數(shù)列”,證明:;
(III)已知數(shù)列存在“伴隨數(shù)列”且求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了提高生產(chǎn)效益,某企業(yè)引進(jìn)了一批新的生產(chǎn)設(shè)備,為了解設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量情況,分別從新、舊設(shè)備所生產(chǎn)的產(chǎn)品中,各隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè),所有產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值均在(15,45]以內(nèi),規(guī)定質(zhì)量指標(biāo)值大于30的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品,質(zhì)量指標(biāo)值在(15,30]的產(chǎn)品為合格品.舊設(shè)備所生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值如頻率分布直方圖所示,新設(shè)備所生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值如頻數(shù)分布表所示.
質(zhì)量指標(biāo) | 頻數(shù) |
(15,20] | 2 |
(20,25] | 8 |
(25,30] | 20 |
(30,35] | 30 |
(35,40] | 25 |
(40,45] | 15 |
合計(jì) | 100 |
(1)請(qǐng)分別估計(jì)新、舊設(shè)備所生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率.
(2)優(yōu)質(zhì)品率是衡量一臺(tái)設(shè)備性能高低的重要指標(biāo),優(yōu)質(zhì)品率越高說明設(shè)備的性能越高.根據(jù)已知圖表數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表(單位:件),并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“產(chǎn)品質(zhì)量高與新設(shè)備有關(guān)”.
非優(yōu)質(zhì)品 | 優(yōu)質(zhì)品 | 合計(jì) | |
新設(shè)備產(chǎn)品 | |||
舊設(shè)備產(chǎn)品 | |||
合計(jì) |
附:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
,其中.
(3)用頻率代替概率,從新設(shè)備所生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品,其中優(yōu)質(zhì)品數(shù)為X件,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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