Question

從橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點F₁，且它的長軸右端點A與短軸上端點B的連線AB∥OM．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若Q是橢圓上任意一點，F(xiàn)₂是右焦點，求∠F₁QF₂的取值范圍；
（3）過F₁作AB的平行線交橢圓于C、D兩點，若|CD|=3，求橢圓的方程．

Answer 1

（1）由已知可設(shè)M（-c，y），
則有

(-c)2

a2

+

y2

b2

=1．
∵M(jìn)在第二象限，∴M（-c，

b2

a

）．
又由AB∥OM，可知k_AB=k_OM．
∴-

b2

ac

=-

b

a

．∴b=c．∴a=

2

b．
∴e=

c

a

=

2

2

．
（2）設(shè)|F₁Q|=m，|F₂Q|=n，
則m+n=2a，mn＞0．|F₁F₂|=2c，a²=2c²，
∴cos∠F₁QF₂=

m2+n2-4c2

2mn

=

(m+n)2-2mn-4c2

2mn

=

4a2-4c2

2mn

-1=

a2

mn

-1≥

a2

( m+n 2 )2

-1=

a2

a2

-1=0．
當(dāng)且僅當(dāng)m=n=a時，等號成立．
故∠F₁QF₂∈[0，

π

2

]．
（3）∵CD∥AB，k_CD=-

b

a

=-

2

2

．
設(shè)直線CD的方程為y=-

2

2

（x+c），
即y=-

2

2

（x+b）．
消去y，整理得
y=-

2

2

（x+b）．
則

x2

a2

+

y2

b2

=1，
（a²+2b²）x²+2a²bx-a²b²=0．
設(shè)C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），∵a²=2b²，
∴x₁+x₂=-

2a2b

a2+2b2

=-

4b3

4b2

=-b，
x₁•x₂=-

a2b2

a2+2b2

=-

2b4

4b2

=-

b2

2

．
∴|CD|=

1+k2

|x₁-x₂|
=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+(- 2 2 )2

•

(-b)2+2b2

=

9 2 b2

=3．
∴b²=2，則a²=4．
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．