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【題目】設函數f（x）＝|x－1|＋|2x－1|．

（Ⅰ）若對x＞0，不等式f（x）≥tx恒成立，求實數t的最大值M；

（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的條件下，正實數a，b滿足a2＋b2＝2M．證明：a＋b≥2ab．

【答案】（Ⅰ）M＝1 （Ⅱ）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ） 恒成立，采用變量分離，轉化為，利用絕對值三角不等式得解（Ⅱ）利用重要不等式a2＋b2≥2ab得出ab≤1，再用得解

試題解析：（Ⅰ）解： 恒成立

∵，

當且僅當，即時取等號，

∴t≤1，∴M＝1．

（Ⅱ）證明：∵a2＋b2≥2ab，∴ab≤1．

∴．（當且僅當“a＝b”時取等號）①

又∵，∴．

∴，（當且僅當“a＝b”時取等號）②

由①、②得．（當且僅當“a＝b”時取等號）

∴a＋b≥2ab．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知下列命題：

①若，則“”是“”成立的充分不必要條件；

②若橢圓的兩個焦點為，且弦過點，則的周長為16；

③若命題“”與命題“或”都是真命題，則命題一定是真命題；

④若命題： ，則：

其中為真命題的是__________（填序號）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】下列各式中，正確的是（　�。�
A.2{x|x≤2}
B.3∈{x|x＞2且x＜1}
C.{x|x=4k±1，k∈Z}≠{x|x=2k+1，k∈Z}
D.{x|x=3k+1，k∈Z}={x|x=3k﹣2，k∈Z}

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】選修4－4：坐標系與參數方程

已知在平面直角坐標系中，曲線的參數方程是 (為參數)，以坐標原點為極點， 軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程是．

(Ⅰ) 求曲線與交點的平面直角坐標；

(Ⅱ) 點分別在曲線， 上，當最大時，求的面積(為坐標原點)．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知曲線C1，C2的極坐標方程分別為ρ＝2cosθ， ，射線θ＝φ， ， 與曲線C1交于（不包括極點O）三點A，B，C．

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）當時，求點B到曲線C2上的點的距離的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數 ，且f（1）=2，f（2）=3． （I）若f（x）是偶函數，求出f（x）的解析式；
（II）若f（x）是奇函數，求出f（x）的解析式；
（III）在（II）的條件下，證明f（x）在區(qū)間 上單調遞減．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f（x）=loga（1﹣x）+loga（x+3）（0＜a＜1）
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）求函數f（x）的零點；
（3）若函數f（x）的最小值為﹣4，求a的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知正四棱柱的底面邊長為，高為，現從該正四棱柱的個頂點中任取個點.設隨機變量的值為以取出的個點為頂點的三角形的面積.

（1）求概率；

（2）求的分布列，并求其數學期望

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知拋物線： 與圓： （）相交于、、、四個點．

（Ⅰ）求的取值范圍；

（Ⅱ）當四邊形的面積最大時，求對角線、的交點的坐標．

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