Question

數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，前n項(xiàng)和S_n與a_n之間滿足a_n=（n≥2）．
（1）求證：數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)存在正數(shù)k，使（1+S₁）（1+S₂）..（1+S_n）對(duì)一切n∈N^×都成立，求k的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由數(shù)列的性質(zhì)a_n=S_n-S_n-1及a_n=（n≥2）得到關(guān)系S_n-S_n-1=，對(duì)其進(jìn)行變形整理出可以判斷數(shù)列為等差數(shù)列的形式即可．
（2）欲證明不等式一切n∈N^×都成立須證明的單調(diào)性，求出其最值由（1）知，此式中的各個(gè)因子符號(hào)為正，故研究其單調(diào)性可以借助作商法來(lái)研究，故先構(gòu)造函數(shù)，F(xiàn)（n）=，然后再令[F（n）]_min≥k即可．
解答：解：（1）證明：∵n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1（1分）
∴S_n-S_n-1=，∴（S_n-S_n-1）（2S_n-1）=2S_n²，
∴=S_n-1-S_n=2S_nS_n-1（3分）
∴=2（n≥2），（5分）
數(shù)列{}是以=1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列．（6分）
（2）由（1）知，
∴，∴（7分）
設(shè)F（n）=，
則
=
=（10分）
∴F（n）在n∈N^*上遞增，要使F（n）≥k恒成立，只需[F（n）]_min≥k
∵[F（n）]_min=F（1）=，∴0＜k≤，k_max=．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本小題考查等差數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和關(guān)系以及數(shù)列與不等式相結(jié)合的有關(guān)問(wèn)題．本題技巧性強(qiáng)，（1）中的變形證明及（2）中的轉(zhuǎn)化為函數(shù)來(lái)判斷單調(diào)性都需要較高的知識(shí)組合能力及較高的觀察能力．