Question

四邊形ABCD與A′ABB′都是邊長為a的正方形，點E是A′A的中點，AA′⊥平面ABCD．
（1）求證：A′C∥平面BDE；
（2）求證：平面A′AC⊥平面BDE；
（3）求三棱錐A-BDE的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）設(shè)BD交AC于M，連結(jié)ME，證明ME∥A′C，即可證明A′C∥平面BDE；
（2）證明BD⊥平面A′AC，即可證明平面A′AC⊥平面BDE；
（3）利用等體積轉(zhuǎn)換，即可求三棱錐A-BDE的體積．

解答： （1）證明：設(shè)BD交AC于M，連結(jié)ME．
∵ABCD為正方形，所以M為AC中點，
又∵E為A′A的中點，
∴ME為△A′AC的中位線
∴ME∥A′C
又∵ME?平面BDE，A′C?平面BDE
∴A′C∥平面BDE．…..（4分）  
（2）證明：∵ABCD為正方形，∴BD⊥AC
∵A′A⊥平面ABCE，BD⊥平面ABCD，
∴A′A⊥BD．
又AC∩A′A=A，
∵AC?面A′AC，AA′?面A′AC，∴BD⊥平面A′AC
∵BD?平面BDE
∴平面A′AC⊥平面BDE．…．（8分）
（3）解：V=VA-BDE=VE-ABD=

a3

12

…（12分）

點評：本題考查線面平行、垂直的判定，考查面面垂直，考查錐體體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．