Question

如圖，在平面四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=BD=6，O為AC，BD的交點(diǎn)．將四邊形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)AC折起，得到三棱錐B-ACD，M為BC的中點(diǎn)，且BD=3

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（Ⅰ）求證：OM∥平面ABD
（Ⅱ）求證：平面ABC丄平面MDO．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線(xiàn)與平面平行的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知得四邊形ABCD是菱形，從而OM∥AB，由此能證明OM∥平面ABD．
（Ⅱ）由已知得OD⊥OB，OD⊥AC，從而OD⊥平面ABC，由此能證明平面ABC⊥平面MDO．

解答： 證明：（Ⅰ）因?yàn)锳B=BC=CD=DA，所以四邊形ABCD是菱形，…（2分）
因?yàn)辄c(diǎn)O是菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，所以O(shè)是AC的中點(diǎn)．
又點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，
所以O(shè)M是△ABC的中位線(xiàn)，所以O(shè)M∥AB．…（5分）
因?yàn)镺M不包含于平面ABD，AB?平面ABD，
所以O(shè)M∥平面ABD．…（6分）
（Ⅱ）由題意知，OB=OD=3，
因?yàn)锽D=3

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，所以∠BOD=90°，OD⊥OB．…（8分）
又因?yàn)榱庑蜛BCD中，OD⊥AC，
而OB∩AC=O，所以O(shè)D⊥平面ABC，…（10分）
因?yàn)镺D?平面MDO，所以平面ABC⊥平面MDO．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．