Question

（2010•湖北模擬）設(shè)y=f^-1（x）是函數(shù)f（x）=2^x+1的反函數(shù)，若f^-1（a）+f^-1（b）=0，則a+b的最小值為

4

．

Answer 1

分析：求出原函數(shù)的反函數(shù)，得到f^--1（x），再結(jié)合題中條件方程f^-1（a）+f^-1（b）=0，化簡(jiǎn)，利用基本不等式求a+b的最小值．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=2^x+1的反函數(shù)為f^--1（x）=log₂x-1，
∴由f^-1（a）+f^-1（b）=0得：
log₂a-1+log₂b-1=0，
∴ab=4，a＞0，b＞0．
根據(jù)基本不等式得：
∴a+b≥2

ab

=4，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào)）．
則a+b的最小值是4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題用到的知識(shí)比較豐富，具有綜合性特點(diǎn)，涉及了反函數(shù)、指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化、對(duì)數(shù)的運(yùn)算、由基本不等式

a+b

2

≥

ab

求最值等多方面的知識(shí)，是這些內(nèi)容的有機(jī)融合，思維密度較大；解題中用注意對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式化簡(jiǎn)log₂a+log₂b=2得a、b的關(guān)系式．