Question

選修4-5：不等式選講已知x，y，z為實(shí)數(shù)，且，
（Ⅰ）求x²+y²+z²的最小值；
（Ⅱ）設(shè)|2t-1|=x²+y²+z²，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由柯西不等式（1²+2²+3²）（x²+y²+z²）≥（1•x+2•y+3•z）²
得，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即x²+y²+z²的最小值為…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，則，解得或，
即實(shí)數(shù)t的取值范圍是…（7分）
分析：（I）利用題中條件：“”構(gòu)造柯西不等式（1²+2²+3²）（x²+y²+z²）≥（1•x+2•y+3•z）²這個(gè)條件進(jìn)行計(jì)算即可．
（II）由（Ⅰ）得，解此絕對(duì)值不等式即可得到實(shí)數(shù)t的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查用綜合法證明不等式，關(guān)鍵是利用：（1²+2²+3²）（x²+y²+z²）≥（1•x+2•y+3•z）²這個(gè)不等關(guān)系，還考查了絕對(duì)值不等式的解法．