Question

【題目】已知f（x）=ex與g（x）=ax+b的圖象交于P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）兩點． （Ⅰ）求函數h（x）=f（x）﹣g（x）的最小值；
（Ⅱ）且PQ的中點為M（x0 ， y0），求證：f（x0）＜a＜y0 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）h（x）=ex﹣ax﹣b，求導得h'（x）=ex﹣a 當a≤0時，h'（x）＞0，h（x）在R上為增函數，不滿足有兩個零點，故不合題意；
所以a＞0，令h'（x）=0，解得x=lna，
并且有x∈（﹣∞，lna），h'（x）＜0；x∈（lna，+∞），h'（x）＞0，
故 ．
（Ⅱ）證明：要證f（x0）＜a＜y0成立，
即證 ，不妨設x2＞x1 ，
只需證 ，
即為 ，
要證 ，只需證 ，
令 ，
只需證F（t）＞0，求導 ，
∴F（t）在（0，+∞）為增函數，
故F（t）＞F（0）=0，
∴ ；
要證 ，
只需證明 ，
令 ，
求導 ，
∴G（t）在（0，+∞）為減函數，故G（t）＜G（0）=0，
∴ ；
∴ ，t＞0，成立，
∴f（x0）＜a＜y0成立
【解析】（Ⅰ）先求導，利用導數求出函數最小值即可， （Ⅱ）利用分析法，要證f（x0）＜a＜y0 ， 只需證 ，構造函數 ，利用導數只需證明 ，再構造函數，根據導數和函數的單調性的關系即可證明
【考點精析】利用函數的最值及其幾何意義對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（�。┲担焕�用圖象求函數的最大（�。┲�；利用函數單調性的判斷函數的最大（�。┲担�