Question

已知三條直線l₁：mx-y+m=0，l₂：x+my-m（m+1）=0，l₃：（m+1）x-y+（m+1）=0，它們圍成△ABC．
（Ⅰ）求證：不論m取何值時，△ABC中總有一個頂點為定點；
（Ⅱ）當m取何值時，△ABC的面積取最大值、最小值？并求出最值．

Answer 1

分析：（1）聯(lián)立方程得出l₁，l₃交于A（-1，0），l₂，l₃交于B（0，m+1）從而可以證明結(jié)論．
（2）首先根據(jù)條件得出角C為直角，從而得出S=

1

2

|AC|•|BC|，再利用點到直線的距離公式得出BC=

1

m2+1

，AC=

m2+m+1

m2+ 1

，然后利用均值不等式求出，

1

m+ 1 m

的最值，即可得出結(jié)果．

解答：解：（1）根據(jù)題意得 l₁，l₃交于A（-1，0）l₂，l₃交于B（0，m+1）
∴不論m取何值時，△ABC中總有一個頂點為定點（-1，0）
（2）從條件中可以看出l₁、l₂垂直
∴角C為直角，
∴S=

1

2

|AC|•|BC|
|BC|等于點（0，m+1）到l₁的距離d=

|-m-1+m|

m2+1

=

1

m2+1

|AC|等于（-1，0）到l₂的距離d=

m2+m+1

m2+ 1

S=

1

2

×

m2+m+1

m2+1

=

1

2

[1+

1

m+ 1 m

]
當m＞0時，

1

m+ 1 m

有最大值

1

2

同理，當m＜0時，

1

m+ 1 m

有最小-

1

2

所以m=1時S取最大值為

3

4

m=-1時S取最小值

1

4

點評：本題考查了兩條直線的交點坐標以及基本不等式的最值問題，此題有一定難度，屬于中檔題．