已知四條直線a、b、c、d兩兩相交，但四線不共點，求證：a、b、c、d共面．

 

答案：
解析：

證明：(1)若其中任意三條直線不共點，如圖(1)，不妨設(shè)相交直線a、b確定平面a且直線c與a、b分別交于點M、N，則有M∈a，N∈a，∴ca．同理可證da．∴a、b、c、d共面．

(2)若其中有三條直線共點，如圖(2)，不妨設(shè)a∩b∩c=Q且d∩a=M，d∩b=N，d∩c=P．∵Qd，∴點Q與直線d確定一個平面a．∵Q∈a，M∈a，∴aa．同理，ba，ca．

∴a、b、c、d共面．

點評：證明多條直線共面問題，常利用公理3或它的三個推論先確定一個平面，然后再證明其他直線也在此平面內(nèi)(常用公理1)，證明多點共線也有類似方法．如果構(gòu)成圖形的所有點都在一個平面內(nèi)，這個圖形叫做平面圖形，本例中a、b、c、d構(gòu)成一個平面圖形．

 


練習(xí)冊系列答案
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下列四個命題中：
①已知三條直線a、b、c，其中a，b異面，a∥c，則b，c異面；
②若直線a與b異面，直線b與c異面，則直線a與c異面；
③過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線；
④不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線．
其中正確的命題為（　　）

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已知四條直線a、b、c、d兩兩相交，但四線不共點，求證：a、b、c、d共面．

 

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已知四條直線a，b，c，d兩兩相交且不通過同一點，證明這四條直線共面．

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已知四條直線a、b、c、d兩兩相交，但四線不共點，求證:a、b、c、d共面.

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