Question

在第十六屆廣州亞運會上，某項目的比賽規(guī)則為：由兩人（記為甲和乙）進行比賽，每局勝者得1分，負者得0分（無平局），比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為p（p＞0.5），且各局勝負相互獨立．已知第二局比賽結(jié)束時比賽停止的概率為

5

9

．
（Ⅰ）求實數(shù)p的值；
（Ⅱ）如圖為統(tǒng)計比賽的局數(shù)n和甲、乙的總得分數(shù)S、T的程序框圖．其中如果甲獲勝，輸入a=1，b=0；如果乙獲勝，則輸入a=0，b=1．請問在第一、第二兩個判斷框中應(yīng)分別填寫什么條件；
（Ⅲ）設(shè)ζ表示比賽停止時已比賽的局數(shù)，求隨機變量ζ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eζ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，當甲連勝2局或乙連勝2局時，第二局比賽結(jié)束時比賽結(jié)束，又知第二局比賽結(jié)束時比賽停止的概率為

5

9

，用P表示出第二局比賽結(jié)束的概率，使它等于

5

9

解出結(jié)果．
（Ⅱ）從框圖知，這是一個含有兩個條件的框圖，結(jié)合題目所給的條件，程序框圖中的第一個條件框應(yīng)填M=2，第二個應(yīng)填n=6．
（Ⅲ）依題意知，ξ的所有可能值為2，4，6．設(shè)每兩局比賽為一輪，則該輪結(jié)束時比賽停止的概率為

5

9

．若該輪結(jié)束時比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，該輪比賽結(jié)果對下輪比賽是否停止沒有影響．寫出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）依題意，當甲連勝2局或乙連勝2局時，第二局比賽結(jié)束時比賽結(jié)束．
有p2+(1-p)2=

5

9

．…（2分）
解得p=

2

3

或p=

1

3

．…（3分）
∵p＞

1

2

，∴p=

2

3

．…（4分）
（Ⅱ）程序框圖中的第一個條件框應(yīng)填M=2，第二個應(yīng)填n=6．…（8分）
注意：答案不唯一． 如：第一個條件框填M＞1，第二個條件框填n＞5，或者第一、第二條件互換，都可以．
（Ⅲ）依題意知，ζ的所有可能值為2，4，6．                            …（9分）
由已知 P(ξ=2)=

5

9

，P(ξ=4)=

C

1 2

p3(1-p)+

C

1 2

(1-p)3p=

20

81

P(ξ=6)=1-P(ξ=2)-P(ξ=4)=

16

81

．…（11分）
∴隨機變量ζ的分布列為：

ζ	2	4	6
P	5 9	20 81	16 81

故Eξ=2×

5

9

+4×

20

81

+6×

16

81

=

266

81

．…（12分）

點評：本題考查概率知識，考查流程圖，考查離散型隨機變量的分布列與期望，解題的關(guān)鍵是確定變量的取值與含義，正確求概率．