Question

已知點(diǎn)P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n）（n為正整數(shù)）都在函數(shù)y=(

1

2

)x的圖象上，且數(shù)列{a_n} 是a₁=1，公差為d的等差數(shù)列．
（1）證明：數(shù)列{b_n} 是公比為(

1

2

)d的等比數(shù)列；
（2）若公差d=1，以點(diǎn)P_n的橫、縱坐標(biāo)為邊長的矩形面積為c_n，求最小的實(shí)數(shù)t，若使c_n≤t（t∈R，t≠0）對一切正整數(shù)n恒成立；
（3）對（2）中的數(shù)列{a_n}，對每個正整數(shù)k，在a_k與a_k+1之間插入2^k-1個3（如在a₁與a₂之間插入2⁰個3，a₂與a₃之間插入2¹個3，a₃與a₄之間插入2²個3，…，依此類推），得到一個新的數(shù)列{d_n}，設(shè)S_n是數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和，試求S₁₀₀₀．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題中已知條件以及等差數(shù)列的基本性質(zhì)，先求出b_n的通項(xiàng)公式，然后證明為常數(shù)即可證明；
（2）先求出b_n的通項(xiàng)公式，然后求出c_n的表達(dá)式，可知數(shù)列c_n從第二項(xiàng)起隨n增大而減小，故c_n≤c₂，即t=c₂，便可求出t的最小值；
（3）根據(jù)題意先求出d_n的表達(dá)式，然后求出S_n的表達(dá)式，繼而可以求得S₁₀₀₀的值．

解答：解：（1）由已知bn=(

1

2

)an，（1分）
所以，

bn+1

bn

=(

1

2

)an+1-an=(

1

2

)d（常數(shù)），（4分）
所以數(shù)列b_n是等比數(shù)列．（5分）
（2）公差d=1，則a_n=n，得bn=(

1

2

)n，
∴cn=n(

1

2

)n，（7分）
cn-cn+1=n(

1

2

)n-(n+1)(

1

2

)n+1=(

1

2

)n

n-1

2

≥0，
∴c₁=c₂＞c₃＞c₄＞c_n，
數(shù)列c_n從第二項(xiàng)起隨n增大而減小（10分）
∴又c1=c2=

1

2

，則

1

2

≤t．最小的實(shí)數(shù)t等于

1

2

（12分）
（3）∵a_n=n，
∴數(shù)列d_n中，從第一項(xiàng)a₁開始到a_k為止（含a_k項(xiàng)），
共有k+2⁰+2¹++2^k-2=k+2^k-1-1項(xiàng)，（14分）
k=10時k+2^k-1-1=521（15分）
k=11時k+2^k-1-1=1034＞1000（16分）
∴S₁₀₀₀=（1+2+10）+990×3=3025（18分）

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì)以及函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對數(shù)列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．