Question

如圖的倒三角形數(shù)陣滿(mǎn)足：（1）第1行的，n個(gè)數(shù)，分別　是1，3，5，…，2n-1；（2）從第二行起，各行中的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和；（3）數(shù)陣共有n行．問(wèn)：當(dāng)n=2012時(shí)，第32行的第17個(gè)數(shù)是

1. A.
   2³⁷
2. B.
   2³⁶+2012
3. C.
   2³⁶
4. D.
   2³²

Answer 1

A
分析：設(shè)第k行的第一個(gè)數(shù)為a_k，則a₁=1，a₂=4=2a₁+2，a₃=12=2a₂+2²，a₄=32=2a₃+2³，…歸納，得a_k=2a_k-1+2^k-1（k≥2，且k∈N^*），故a_n=n•2^n-1（n∈N^*）．由數(shù)陣的排布規(guī)律可知，每行的數(shù)（倒數(shù)兩行另行考慮）都成等差數(shù)列，且公差依次為：2，2²，…，2^k，…，由此能求出第32行的第17個(gè)數(shù)．
解答：設(shè)第k行的第一個(gè)數(shù)為a_k，
則a₁=1，
a₂=4=2a₁+2，
a₃=12=2a₂+2²，
a₄=32=2a₃+2³，
…
由以上歸納，得a_k=2a_k-1+2^k-1（k≥2，且k∈N^*），
∴=+，即-=，
∴數(shù)列{}是以=為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，
∴=+（n-1）×=，
∴a_n=n•2^n-1（n∈N^*）．
由數(shù)陣的排布規(guī)律可知，每行的數(shù)（倒數(shù)兩行另行考慮）都成等差數(shù)列，
且公差依次為：2，2²，…，2^k，…
第n行的首項(xiàng)為a_n=n•2^n-1（n∈N^*），公差為2ⁿ，
∴第32行的首項(xiàng)為a₃₂=32•2³¹=2³⁶，公差為2³²，
∴第32行的第17個(gè)數(shù)是2³⁶+16×2³²=2³⁷．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，合理地總結(jié)規(guī)律，注意歸納法和構(gòu)造法的合理運(yùn)用．