Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c且A=60°，c=3b求：
（1）

a

c

的值
（2）

1

tanB

+

1

tanC

值．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，把cosA及b=

1

3

c代入，整理后即可得到a與c的比值；
（2）把所求的式子中的tanB和tanC先利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系切化弦，通分后分子利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式變形，再利用誘導(dǎo)公式及三角形的內(nèi)角和定理化簡，整理后把sinA，表示出的a²，以及c與b的比值代入即可得到結(jié)果．

解答：解：（1）∵A=60°，c=3b，
∴根據(jù)余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=(

1

3

c)2+c2-2•

1

3

c•c•

1

2

=

7

9

c2，
則

a

c

=

7

3

；（6分）
（2）∵A=60°，c=3b，a²=

7

9

c2，
∴

1

tanB

+

1

tanC

=

cosB

sinB

+

cosC

sinC

=

sinCcosB+cosCsinB

sinBsinC

=

sin(C+B)

sinBsinC

=

sin(π-A)

sinBsinC

=

sinA

sinBsinC

=

1

sinA

•

a2

bc

=

1

sinA

•

7c2 9

bc

=

1

sinA

•

7

9

•

c

b

=

2

3

×

7

9

×3
=

14 3

9

（12分）

點評：此題考查了余弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式，三角形的內(nèi)角和定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．