在△ABC中，已知BC=2，
AB
•
AC
=1，則△ABC面積的最大值是
 
．
分析：根據(jù)
AB
•
AC
=1，及向量的數(shù)量積的定義式得到|
AB
|•
|AC
|cosA=1，兩邊平方得到1=AB2AC2cos2A，根據(jù)三角形的面積公式S=
1
2
|AB||AC|sinA，兩邊平方，兩式相加，得到1+4S2=AB2AC2，根據(jù)余弦定理和基本不等式即可求得三角形面積的最大值．
解答：解：∵
AB
•
AC
=1，∴|
AB
|•
|AC
|cosA=1  
∴1=AB2AC2cos2A（1）
又∵S=
1
2
|AB||AC|sinA
∴4S2=AB2AC2sin2A（2）
（1）+（2）得：1+4S2=AB2AC2（cos2A+sin2A）
即1+4S2=AB2AC2
由題知：
BC
=
AC
-
AB
，
∴BC2=AC2-2
AB
•
AC
+AB2=AC2+AB2-2
∵BC=2，
∴AC2+AB2=6
由不等式：AC2+AB2≥2AC•AB 當且僅當，AC=AB時，取等號
∴6≥2AC•AB
即AC•AB≤3
∴1+4S2=AB2AC2《9
∴4S2≤8，即：S2≤2
∴S≤
2
，所以△ABC面積的最大值是：
2
．
故答案為
2
．
點評：此題是個中檔題．考查向量在幾何中的應(yīng)用和向量的數(shù)量積的定義式，以及余弦定理、三角形的面積公式和基本不等式求最值等基礎(chǔ)知識和基本方法，綜合性強，考查了學生靈活應(yīng)用知識分析、解決問題的能力．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，已知b=50
3
，c=150，B=30°，則邊長a=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)在△ABC中，已知B=45°，D是BC上一點，AD=5，AC=7，DC=3，求AB的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，已知b=6，c=5
3
，A=30°，則a=
21
21
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，已知B=60°，C=45°，c=3
2
，則b=
3
3
3
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，已知B=
π
3
，AC=4
3
，D為BC邊上一點．
（I）若AD=2，S△DAC=2
3
，求DC的長；
（Ⅱ）若AB=AD，試求△ADC的周長的最大值．

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