Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=，點(diǎn)F是PD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上移動(dòng)．
（1）當(dāng)點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)時(shí)，試判斷EF與平面PAC的關(guān)系，并說明理由；
（2）求證：PE⊥AF．

Answer 1

（1）解：當(dāng)點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)時(shí)，EF∥平面PAC．
理由如下：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為CD，PD的中點(diǎn)，∴EF∥PC．
∵PC?平面PAC，EF?平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
（2）證明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥PA．
又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
∵AF?平面PAD，∴AF⊥CD．
∵PA=AD，點(diǎn)F是PD的中點(diǎn)，∴AF⊥PD．
又CD∩PD=D，∴AF⊥平面PDC．
∵PE?平面PDC，
∴PE⊥AF．
分析：（1）當(dāng)點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)時(shí)，EF∥平面PAC，欲證EF∥平面PAC，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證EF與平面PAC內(nèi)一直線平行，根據(jù)中位線定理可知EF∥PC；
（2）欲證PE⊥AF，而PE?平面PDC，可先證AF⊥平面PDC，根據(jù)CD⊥平面PAD，由線面垂直的性質(zhì)可知AF⊥CD，根據(jù)等腰三角形可知AF⊥PD，CD∩PD=D，滿足線面垂直的判定定理．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的判定，考查線面垂直的判定和性質(zhì)等有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查了空間想象能力和推理論證的能力，屬于中檔題．