（1）求證：若x＞0，則ln（1+x）＞
x
1+x
；
（2）若a，b＞0求證：lna-lnb≥1-
b
a
．
分析：（1）欲證ln（1+x）＞
x
1+x
，設f（x）=ln（1+x）-
x
1+x
利用導數(shù)證明出當x＞0時f′（x）＞0，在（0，+∞）上是增函數(shù)．結(jié)合f（x）＞f（0）=0即得；
（2）欲證lna-lnb≥1-
b
a
，令f（x）=ln（1+x）-
x
1+x
，由（1），f（x）在x=0處取得最小值．即ln（1+x）-
x
1+x
≥0從而證得lna-lnb≥1-
b
a
．
解答：（1）f（x）=ln（1+x）-
x
1+x
，∴f′（x）=
x
(1+x) 2

x＞0時f′（x）＞0，在（0，+∞）上是增函數(shù)．
∴x＞0時，f（x）＞f（0）=0，∴l(xiāng)n（1+x）＞
x
1+x

（2）令f（x）=ln（1+x）-
x
1+x
，
由（1），f（x）在x=0處取得最小值．
即ln（1+x）-
x
1+x
≥0
∴而lna-lnb-1+
b
a
=ln
a
b
+
b
a
-1=f（
a
b
-1)
∴l(xiāng)na-lnb-1+
b
a
≥0
即lna-lnb≥1-
b
a
．
點評：本小題主要考查導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用、不等式的證法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)=
x+sinxx
，g（x）=xcosx-sinx．
（1）求證：當x∈（0，π]時，g（x）＜0；
（2）存在x∈（0，π]，使得f（x）＜a成立，求a的取值范圍；
（3）若g（bx）≤bxcosbx-bsinx（b≥-1）對x∈（0，π]恒成立，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知各項為正的數(shù)列{an}的首項為a1=2sinθ（θ為銳角），
4-
a
2
n
+an+12=2，數(shù)列{bn}滿足bn=2n+1an．
（1）求證：當x∈（0，
π
2
）時，sinx＜x
（2）求an，并證明：若θ=
π
4
，則a1+a2+…+an＜π
（3）是否存在最大正整數(shù)m，使得bn≥msinθ對任意正整數(shù)n恒成立？若存在，求出m；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（1）求證：若x＞0，則ln（1+x）＞
x
1+x
；
（2）若a，b＞0求證：lna-lnb≥1-
b
a
．

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科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年吉林省長春十一中高二（上）段考數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

（1）求證：若x＞0，則ln（1+x）＞；
（2）若a，b＞0求證：lna-lnb≥1-．

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