Question

已知函數(shù)f（x）=2x²，g（x）=alnx（a＞0）．
（1）若直線l交f（x）的圖象C于A，B兩點(diǎn)，與l平行的另一條直線l₁切圖象于M，求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；
（2）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范圍；
（3）求證：（其中e為無(wú)理數(shù)，約為2.71828）．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)切點(diǎn)M的，A，B點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，求出AB方程與函數(shù)f（x）聯(lián)立，利用韋達(dá)定理．即可證得結(jié)論；
（2）構(gòu)造函數(shù)令F（x）=f（x）-g（x）=2x²-alnx，確定函數(shù)的最小值，不等式f（x）≥g（x）恒成立，等價(jià)于最小值大于等于0，由此可得的取值范圍；
（3）由（2）得2x²≥4elnx，即，由此進(jìn)行放縮，即可證得結(jié)論．
解答：（1）證明：設(shè)切點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，A，B點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，
因?yàn)閒′（x）=4x，所以；
令A(yù)B方程為y=4xx+b，則由消去y得2x²-4xx-b=0，
當(dāng)時(shí)，x₁+x₂=2x，所以A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．…（4分）
（2）解：令F（x）=f（x）-g（x）=2x²-alnx，，
令F'（x）=0，得，所以f（x）的減區(qū)間為，增區(qū)間為，
∴F（x）_極小值=，
不等式f（x）≥g（x）恒成立，等價(jià)于，
∴a≤4e且a＞0，即a∈（0，4e]．…（10分）
（3）證明：由（2）得2x²≥4elnx，即，所以…
即（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查恒成立問(wèn)題，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)，確定函數(shù)的最值．