Question

（2004•黃埔區(qū)一模）當(dāng)k∈R，k為定值時(shí)，函數(shù)f（x）=

x2+k

+

1

x2+k

的最小值為

當(dāng)k≤1時(shí)，為2；當(dāng)k＞1時(shí)，為

k

+

1

k

．

Answer 1

分析：先觀察函數(shù)的解析式，當(dāng)k≤1時(shí)，利用基本不等式求得函數(shù)的最小值；再看k＞1時(shí)令t=

x2+k

，然后對(duì)f（t）進(jìn)行求導(dǎo)，判斷出函數(shù)在[

k

，+∞）上的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的最小值，最后綜合答案可得．

解答：解：f（x）=

x2+k

+

1

x2+k

，
①當(dāng)k≤1時(shí)，

x2+k

+

1

x2+k

≥2，
當(dāng)且僅當(dāng)x=±

1-k

時(shí)取等號(hào)，y_min=2．
②當(dāng)k＞1時(shí)，令t=

x2+k

（t≥

k

）．
y=f（t）=t+

1

t

．f'（t）=1-

1

t2

＞0．
∴f（t）在[

k

，+∞）上為增函數(shù)．
∴y≥f（

k

）=

k+1

k

，等號(hào)當(dāng)t=

k

即x=0時(shí)成立，y_min=

k+1

k

．
綜上，0＜k≤1時(shí)，y_min=2；
k＞1時(shí)，y_min=

k+1

k

=

k

+

1

k

．
故答案為：當(dāng)k≤1時(shí)，為2；當(dāng)k＞1時(shí)，為

k

+

1

k

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用．考查了學(xué)生函數(shù)思想和分類討論思想的應(yīng)用和基本不等的靈活應(yīng)用．