Question

19．如圖，已知四棱錐S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，且SA=AB=BC=2CD，E是邊SB的中點．
（1）求證：CE∥平面SAD；
（2）取BC中點M，求證平面SAC⊥平面SMD；
（3）求三棱錐S-ECD與四棱錐E-ABCD的體積比．

Answer 1

分析 （1）取SA中點F，連接EF，F(xiàn)D，可得EF∥AB，且$EF=\frac{1}{2}AB$，結合∠ABC=∠BCD=90°，得AB∥CD，進一步得到$CD=\frac{1}{2}AB$，從而可得四邊形EFDC為平行四邊形，得到FD∥EC，再由線面平行的判定可得CE∥面SAD；
（2）在Rt△MCD中，由MC=CD，得∠DMC=45°．在Rt△ABC中，由AB=AC，得∠BCA=45°，可得MD⊥AC，再由線面垂直的性質可得MD⊥SA，進一步由線面垂直的判定可得平面SAC⊥面SMD；
（3）連接AC，BD．由已知可得S_△ABC=2S_△BCD，得V_E-ABC=2V_E-BCD，利用等積法得V_E-ABCD=3V_S-ECD．可得三棱錐S-ECD與四棱錐E-ABCD的體積比為1：3．

解答 （1）證明：取SA中點F，連接EF，F(xiàn)D，
∵E是邊SB的中點，∴EF∥AB，且$EF=\frac{1}{2}AB$，
又∵∠ABC=∠BCD=90°，∴AB∥CD，
又∵AB=2CD，即$CD=\frac{1}{2}AB$，
∴EF∥CD，且EF=CD，
∴四邊形EFDC為平行四邊形，
∴FD∥EC，
又FD?面SAD，CE?面SAD，
∴CE∥面SAD；
（2）證明：在Rt△MCD中，MC=CD，則∠DMC=45°．
在Rt△ABC中，AB=AC，則∠BCA=45°，
∴MD⊥AC，
又SA⊥平面ABCD，且MD?平面ABCD，
∴MD⊥SA，
∴MD⊥面SAC，
∴平面SAC⊥面SMD；
（3）解：連接AC，BD．
∵AB∥CD，且AB=2CD，
∴S_△ABC=2S_△BCD，
∴V_E-ABC=2V_E-BCD，
又由S_△ACD=S_△BCD，得V_E-ACD=V_E-BCD，
∴V_E-ABCD=V_E-ACD+V_E-ABC=V_E-BCD+V_E-ABC=3V_E-BCD，
∵E是邊SB中點，∴S_△SCE=S_△BCE，
∴V_D-SCE=V_D-BCE，
又V_S-ECD=V_D-SCE，V_E-BCD=V_D-BCE，
∴V_E-ABCD=3V_S-ECD．
即三棱錐S-ECD與四棱錐E-ABCD的體積比為1：3．

點評 本題考查直線與平面平行、平面與平面垂直的判定，訓練了利用等積法求多面體的體積，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．