Question

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F₁且與坐標(biāo)軸不平行的直線l₁與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，如果△MNF₂的周長(zhǎng)等于8．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)（1，0）的直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)P、Q，試問在x軸上是否存在定點(diǎn)E（m，0），使恒為定值？若存在，求出E的坐標(biāo)及定值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（I）由題意知c=，4a=8，∴a=2，b=1
∴橢圓的方程為=1
（II）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k，則l的方程為y=k（x-1）消去y得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
則由韋達(dá)定理得則
∴=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+y₁y₂
=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+k²（x₁-1）（x₂-1）
=
=要使上式為定值須，解得∴為定值當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)由可得∴=綜上所述當(dāng)時(shí)，為定值
分析：（I）由題意知c=，4a=8，由此能得到橢圓的方程．
（II）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k，則l的方程為y=k（x-1）消去y得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由韋達(dá)定理結(jié)合向量的運(yùn)算法則能夠?qū)С?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/183612.png' />為定值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，注意韋達(dá)定理和向量知識(shí)的合理運(yùn)用．