Question

已知橢圓的兩個焦點，過F₁且與坐標軸不平行的直線l₁與橢圓相交于M，N兩點，如果△MNF₂的周長等于8．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若過點（1，0）的直線l與橢圓交于不同兩點P、Q，試問在x軸上是否存在定點E（m，0），使恒為定值？若存在，求出E的坐標及定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（I）由題意知c=，4a=8，∴a=2，b=1
∴橢圓的方程為=1
（II）當直線l的斜率存在時，設其斜率為k，則l的方程為y=k（x-1）消去y得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
則由韋達定理得則
∴=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+y₁y₂
=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+k²（x₁-1）（x₂-1）
=
=要使上式為定值須，解得∴為定值當直線l的斜率不存在時由可得∴=綜上所述當時，為定值
分析：（I）由題意知c=，4a=8，由此能得到橢圓的方程．
（II）當直線l的斜率存在時，設其斜率為k，則l的方程為y=k（x-1）消去y得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由韋達定理結合向量的運算法則能夠導出為定值．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，合理地進行等價轉化，注意韋達定理和向量知識的合理運用．