Question

已知，函數(shù)f（x）=．
（I）求f（）的值；　
（II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅲ）求f（x）在區(qū)間上的最值．

Answer 1

解：（I）根據(jù)題意，得f（x）==cosx•2sinx+（1+cosx）（1-cosx）
=sin2x+1-cos²x=sin2x+=sin（2x-）+
∴f（）=sin（-）+=1+=
（II）令≤2x-≤，（其中k是整數(shù)）
可得≤x≤
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（，）．（k∈Z）
（III）∵x∈
∴2x-∈，可得-≤sin（2x-）≤1
因此0≤sin（2x-）+≤，f（x）在區(qū)間上的最值小值為0，最大值為
分析：（I）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，結(jié)合三角函數(shù)的降次公式和輔助角公式，得f（x）==sin2x+=sin（2x-）+，代入x=即可得到f（）的值；
（II）根據(jù)函數(shù)y=sinx的單調(diào)區(qū)間的公式，令≤2x-≤，解得≤x≤，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（III）根據(jù)x∈，可以計算出2x-∈，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可得0≤sin（2x-）+≤，由此可得f（x）在區(qū)間上的最值小值和最大值．
點評：本題以向量的數(shù)量積為載體，要求對三角函數(shù)式進行化簡，并求函數(shù)的值域與最值，著重考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的知識點，屬于中檔題．