Question

已知定點(diǎn)Q（0，5）和圓C：（x+2）²+（y-6）²=4²．
（1）若直線l過Q點(diǎn)且被圓C截得的線段長(zhǎng)為4

3

，求直線l的方程；
（2）求過Q點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)P的軌跡方程，并指出其軌跡是什么？

Answer 1

（1）1°當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，容易知x=0符合題意；…2
2°當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+5，交圓于AB兩點(diǎn)，取AB中點(diǎn)M，連接CM，則CM⊥AB，
∵|AB|=4

3

，r=4，
∴|CM|=2，…4 
則由|CM|=

|-2k-1|

k2+1

=2得：k=

3

4

，故直線l的方程為3x-4y+5=0，…6
∴直線l的方程為：x=0或3x-4y+5=0；…7
（2）設(shè)弦中點(diǎn)P（x，y），由題意得：CP⊥QP，…8
∴

CP

•

QP

=0，而

CP

=（x+2，y-6），

QP

=（x，y-5）…10
∴

CP

•

QP

=x（x+2）+（y-6）（y-5）=0，化簡(jiǎn)整理得：x²+y²+2x-11y+30=0，…11
∴點(diǎn)P的軌跡方程為：：x²+y²+2x-11y+30=0，（（x+2）²+（y-6）²＜16）…13
∴點(diǎn)P的軌跡是以為（-1，

11

2

）為圓心，

5

2

為半徑的圓，在圓（x+2）²+（y-6）²=16的內(nèi)部的一段弧…14