Question

17．已知函數(shù)f（x）=x|x-a|+b，x∈R
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）若a＞0，函數(shù) f（x）在區(qū)間[2，3]上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）討論a=0，b=0時(shí)，a≠0或b≠0時(shí)，即可判斷奇偶性；
（2）寫出分段函數(shù)式，求得f（x）的減區(qū)間，由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≤2}\\{a≥3}\end{array}\right.$，可得a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=0，b=0時(shí)，f（x）=x|x|為奇函數(shù)；
當(dāng)a≠0或b≠0時(shí)，f（x）為非奇非偶函數(shù)．
（2）函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax+b，x≥a}\\{-{x}^{2}+ax+b，x＜a}\end{array}\right.$，
當(dāng)x≤a時(shí)，f（x）的遞減區(qū)間為[$\frac{a}{2}$，a]，
由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≤2}\\{a≥3}\end{array}\right.$，
解得3≤a≤4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．