Question

對于函數(shù)f（x），若在其定義域內(nèi)存在兩個實數(shù)a，b（a＜b），使當x∈[a，b]時，f（x）的值域是[2a，2b]，則稱f（x）為“快樂函數(shù)”…是否存在實數(shù)m，當a+b≤4時，使函數(shù)f（x）=x²-4x+m，x∈[0，+∞﹚為“快樂函數(shù)”．若存在，求出m的范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先要理解快樂函數(shù)的定義，其次要注意二次函數(shù)的對稱軸及給出的a、b的條件，結(jié)合條件進行討論函數(shù)的最值，從而解m．

解答： 解：∵x∈[a，b]且a+b≤4，函數(shù)f（x）=x²-4x+m的對稱軸為x=2，
∴a≤2，b與2的大小關(guān)系不確定，函數(shù)f（x）在[a，b]上的最大值為f﹙a﹚=a²-4a+m；
又∵值域為[2a，2b]；
①若b≤2，則f﹙a﹚=a²-4a+m=2b；f﹙b﹚=b²-4b+m=2a；
消去m得a²-b²-2a+2b=0，
∴﹙a-b﹚﹙a+b-2﹚=0
∵a＞b，a≠b，
∴a+b=2，b＞1
∴a=2-b代入b²-4b+m=2a，
﹙b-1﹚²=5-m，
∴0＜5-m≤1，
即4≤m＜5，
②若b＞2，則f﹙a﹚=a²-4a+m=2b；f﹙2﹚=4-8+m=2a，
即（a-2）²=2（b-a）＞0，
∴a＜2，
∴m=2a+4＜8，
綜上所述，m＜8．

點評：本題考查了學(xué)生對新定義的接受能力及二次函數(shù)的最值與值域問題的處理方法，屬于中檔題．