Question

設(shè)x軸、y軸正方向上的單位向量分別是、，坐標(biāo)平面上點列A_n、B_n（n∈N^*）分別滿足下列兩個條件：①且；②且．
（1）求及的坐標(biāo)，并證明點A_n在直線y=x+1上；
（2）若四邊形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積是a_n，求a_n（n∈N^*）的表達式；
（3）對于（2）中的a_n，是否存在最小的自然數(shù)M，對一切n∈N^*都有a_n＜M成立？若存在，求M；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)向量的加法的幾何意義，再結(jié)合坐標(biāo)運算的法則，可得及的坐標(biāo)，因而再結(jié)合已知條件，可得，代入坐標(biāo)可得A_n（n-1，n），它滿足直線方程y=x+1；
（2）用類似于（1）的方法，結(jié)合已知條件用等比數(shù)列求和公式，得：，代入四邊形
A_nB_nB_n+1A_n+1的面積，進而得到a_n的通項公式為a_n=5+（n-2）×；
（3）通過作差，得，再通過討論得到這個差在n=4時為0，而n＜4時為正，n＞4時為負，從而得到a₄=a₅為的最大項，因此不難求出存在最小的自然數(shù)M=6，對一切n∈N*都有a_n＜M成立．
解答：解：（1），


==（n-1，n）
所以A_n（n-1，n），它滿足直線方程y=x+1，因此點A_n在直線y=x+1上．
（2）
=
=．
設(shè)直線y=x+1交x軸于P（-1，0），
則
=[10-9×]×（n+1）-[10-9×]×n
=5+（n-2）×
（3）=
所以a₁-a₂＜0，a₂-a₃＜0，a₃-a₄＜0，a₄-a₅=0，a₅-a₆＞0，a₆-a₇＞0，…等
即在數(shù)列{a_n}中，是數(shù)列的最大項，
所以存在最小的自然數(shù)M=6，對一切n∈N*都有a_n＜M成立．
點評：本題考查了平面向量與數(shù)列的綜合，是一道難題．對于等比數(shù)列的通項和求和公式的掌握，數(shù)列單調(diào)性的充公理解，是解決本題的關(guān)鍵．