經(jīng)長期觀測,某海濱浴場七月份每天海浪的高度為y(米)可近似地看成關(guān)于時間t(0≤t≤24,單位:小時)的函數(shù)y=Acosωt+b.下表是該地某觀測站測得七月份某天各時刻的浪高數(shù)據(jù):
t(時) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),求該函數(shù)的表達(dá)式;
(2)該浴場規(guī)定,當(dāng)海浪的高度高于1米時,才對沖浪愛好者開放,請判斷一天內(nèi)的上午8:00時至晚上20:00時之間,有多少時間可供沖浪者進(jìn)行沖浪運(yùn)動?
分析:(1)函數(shù)模型給定,關(guān)鍵是根據(jù)所給的數(shù)據(jù),求出函數(shù)的周期,從浪高最大值到下一次浪高最大值所用的時間即周期,由周期可求ω;利用函數(shù)滿足(0,1.5),(3,1.0)可求振幅A及b的值;
(2)當(dāng)海浪高度高于1米時,解不等式y(tǒng)>1,求出不等式在上午8:00時至晚上20:00之間的解即可.
解答:解:(1)由表中數(shù)據(jù),知周期T=12,ω=
π
6
.(4分)
又由t=0,y=1.5得A+b=1.5   ①由t=3,y=1.0得b=1.0  ②
解得A=0.5,b=1,故所求的函數(shù)解析式y(tǒng)=
1
2
cos
π
6
t+1.(6分)
(2)由題設(shè)知,當(dāng)y>1時,才可以對沖浪愛好者開放,∴
1
2
cos
π
6
t+1>1.(8分)
即cos
πt
6
>0,∴2kπ-
π
2
π
6
•t<2kπ+
π
2
,即12k-3<t<12k+3(k∈Z).(10分)
∵0≤t≤24,∴k只能取0,1,2,相應(yīng)的t值是0≤t<3或9<t<15,或21<t≤24,
故在規(guī)定時間內(nèi)有6個小時可供沖浪者進(jìn)行沖浪運(yùn)動.即上午9時至下午3時.(13分)
點(diǎn)評:本題是給定三角函數(shù)模型,考查函數(shù)解析式的求解,同時考查利用解析式解決實(shí)際問題.根據(jù)給出數(shù)據(jù)周期性的特點(diǎn),觀察數(shù)據(jù),是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知某海濱浴場的海浪高度y(m)是時間t(0≤t≤24,單位:h)的函數(shù),記作y=f(t),下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù):
t/時 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/米 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
經(jīng)長期觀測,y=f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y=Acosωt+b.
(1)求函數(shù)y=Acosωt+b的最小正周期T,振幅A及函數(shù)表達(dá)式.
(2)依據(jù)規(guī)定:當(dāng)海浪高度高于1m時才對沖浪愛好者開放,請依據(jù)(1)的結(jié)論,一天內(nèi)的上午8:00時至晚上20:00時之間,有多少時間可供沖浪者進(jìn)行運(yùn)動.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知某海濱浴場的海浪高度y(單位:米)與時間 t(0≤t≤24)(單位:時)的函數(shù)關(guān)系記作y=f(t),下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù):
t/時 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/米 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
經(jīng)長期觀測,函數(shù)y=f(t)可近似地看成是函數(shù)y=Acosωt+b.
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),求出函數(shù)y=Acosωt+b的最小正周期T及函數(shù)表達(dá) 式(其中A>0,ω>0);
(2)根據(jù)規(guī)定,當(dāng)海浪高度不低于0.75米時,才對沖浪愛好者開放,請根據(jù)以上結(jié)論,判斷一天內(nèi)從上午7時至晚上19時之間,該浴場有多少時間可向沖浪愛好者開放?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

經(jīng)長期觀測,某海濱浴場七月份每天海浪的高度為y(米)可近似地看成關(guān)于時間t(0≤t≤24,單位:小時)的函數(shù)y=Acosωt+b.下表是該地某觀測站測得七月份某天各時刻的浪高數(shù)據(jù):
t(時)03691215182124
y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),求該函數(shù)的表達(dá)式;
(2)該浴場規(guī)定,當(dāng)海浪的高度高于1米時,才對沖浪愛好者開放,請判斷一天內(nèi)的上午8:00時至晚上20:00時之間,有多少時間可供沖浪者進(jìn)行沖浪運(yùn)動?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年湖南省益陽市箴言中學(xué)高一(下)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

經(jīng)長期觀測,某海濱浴場七月份每天海浪的高度為y(米)可近似地看成關(guān)于時間t(0≤t≤24,單位:小時)的函數(shù)y=Acosωt+b.下表是該地某觀測站測得七月份某天各時刻的浪高數(shù)據(jù):
t(時)3691215182124
y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),求該函數(shù)的表達(dá)式;
(2)該浴場規(guī)定,當(dāng)海浪的高度高于1米時,才對沖浪愛好者開放,請判斷一天內(nèi)的上午8:00時至晚上20:00時之間,有多少時間可供沖浪者進(jìn)行沖浪運(yùn)動?

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