已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足an-1-an=anan-1(n≥2,n∈N+),a1=1.
(Ⅰ)求證數(shù)列{
1
an
}是等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=
2n-1
an
,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn
分析:(Ⅰ)對(duì)等式兩邊同除以anan-1可得
1
an
-
1
an-1
=1,根據(jù)等差數(shù)列的定義可得結(jié)論,然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得
1
an
,進(jìn)而可得an
(Ⅱ)表示出bn,利用錯(cuò)位相減法可求得Tn
解答:解:(Ⅰ)由an-1-an=anan-1(n≥2,n∈N*),得
1
an
-
1
an-1
=1,
∴數(shù)列{
1
an
}是公差為1的等差數(shù)列,
1
an
=
1
a1
+n-1=n,得an=
1
n
;
(Ⅱ)bn=n•2n-1
∴Tn=1•20+2•21+3•22+…+(n-1)•2n-2+n•2n-1,
則2•Tn=1•21+2•22+3•23+…+(n-1)•2n-1+n•2n
兩式相減,得-Tn=1+2+22+…+2n-1-n•2n=
1-2n
1-2
-n•2n=(1-n)•2n-1,
∴Tn=(n-1)•2n+1.
點(diǎn)評(píng):本題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項(xiàng)及數(shù)列求和,錯(cuò)位相減法對(duì)數(shù)列求和是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容,要熟練掌握.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足:a1=3,(2n-1)an+2=(2n+1)an-1+8n2(n>1,n∈N*
(1)求證:數(shù)列{
an
2n+1
}
為等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an
(2)設(shè)bn=
1
an
,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,并求Sn的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義:稱
n
a1+a2+…+an
為n個(gè)正數(shù)a1,a2,…,an的“均倒數(shù)”,已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為
1
2n
,則
lim
n→∞
nan
sn
( 。
A、0
B、1
C、2
D、
1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知正項(xiàng)數(shù)列an中,a1=2,點(diǎn)(
an
,an+1)
在函數(shù)y=x2+1的圖象上,數(shù)列bn中,點(diǎn)(bn,Tn)在直線y=-
1
2
x+3
上,其中Tn是數(shù)列bn的前項(xiàng)和.(n∈N+).
(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=an2+2an(n∈N+),令bn=log2(an+1).
(1)求證:數(shù)列{bn}為等比數(shù)列;
(2)記Tn為數(shù)列{
1
log2bn+1log2bn+2
}
的前n項(xiàng)和,是否存在實(shí)數(shù)a,使得不等式Tn<log0.5(a2-
1
2
a)
對(duì)?n∈N+恒成立?若存在,求出實(shí)數(shù)a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知正項(xiàng)數(shù)列{an},Sn=
1
8
(an+2)2

(1)求證:{an}是等差數(shù)列;
(2)若bn=
1
2
an-30
,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.

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