Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b1

=1（a＞0，b＞0）的左、右頂點分別為A、B，右焦點為F（c，0）（c＞0），右準(zhǔn)線為l：x=

1

2

，|AF|=3，過點F作直線交雙曲線的右支于P、Q兩點，延長PB交右準(zhǔn)線l于M點．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）若

OP

•

OQ

=-17，求△PBQ的面積S；
（Ⅲ）若

PF

=λ

FQ

（λ≠0，λ≠-1），問是否存在實數(shù)μ=f（λ），使得

AM

=μ•

MQ

，若存在，求出μ=f（λ）的表達(dá)式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接由題意列出關(guān)于a，b，c的方程組，求解后可得雙曲線的方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線PQ的方程和P，Q的坐標(biāo)，聯(lián)立直線和雙曲線方程后利用

OP

•

OQ

=-17結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求出直線的斜率，利用弦長公式求得弦長，代入三角形的面積公式求解；
（Ⅲ）由點斜式寫出PB的方程，取x=

1

2

得到M的坐標(biāo)，結(jié)合

PF

=λ

FQ

把點P和Q的坐標(biāo)化為含有λ的表達(dá)式，利用響亮的坐標(biāo)加減法得到

AM

和

MQ

，通過一系列的整理變形得到兩向量共線．

解答：解：（Ⅰ）由題意知

a+c=3 a2 c = 1 2 b2=c2-a2

⇒

a=1 b= 3 c=2

，
則雙曲線方程為x2-

y2

3

=1；
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由題意知F（2，0），A（-1，0），B（1，0）．
有準(zhǔn)線l：x=

1

2

設(shè)PQ方程為y=k（x-2），代入雙曲線方程3x²-y²-3=0，
可得（3-k²）x²+4k²x-（4k²+3）=0．
由于P、Q都在雙曲線右支上，所以

3-k2≠0 △=16k4+4(3-k2)(4k2+3)＞0 x1+x2= 4k2 k2-3 ＞0 x1x2= 4k2+3 k2-3 ＞0

⇒k²＞3
∴y1y2=k(x1-2)•k(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]=

-9k2

k2-3

由于

OP

=(x1，y1)，

OQ

=(x2，y2)
由

OP

•

OQ

=x1x2+y1y2=-17⇒

4k2+3

k2-3

-

9k2

k2-3

=-17⇒k²=4
此時，x₁+x₂=16，x₁x₂=19，y₁y₂=-36
∴y₁+y₂=k（x₁-2）+k（x₂-2）=k（x₁+x₂-4）=12k
∴SS△BPQ=

1

2

|BF|×|y1-y2|=

1

2

×1×

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

2

(12k)2-4×(-36)

=6

5

（III）存在實數(shù)μ滿足題設(shè)條件
∵PB的方程為y-0=

y1

x1-0

(x-1)
令x=

1

2

，得y=

-y1

2(x1-1)

，即M（

1

2

，

-y1

2(x1-1)

）
∵

PF

=λ

FQ

，∴（2-x₁，-y₁）=λ（x₂-2，y₂）
即

2-x1=λ(x2-2) -y1=λy2

⇒

x1=2(λ+1)-λx2① y12=λ2y22②

又

3x12-y12=3 3x22-y22=3

⇒

y12=3(x12-1) y22=3(x22-1)

③
把③代入②得，x12=λ2x22+1-λ2④
由①、④得：x1=

3λ+5

4

=

3

4

λ+

5

4

，x2=

3

4λ

+

5

4

又

AM

=(

3

2

，

-y1

2(x1-1)

)
∴

MQ

=(x2-

1

2

，y2+

y1

2(x1-1)

)
=(

3

4λ

+

5

4

-

1

2

，-

y1

λ

+

y1

2(x1-1)

)
=(

3

2

•

λ+1

2λ

，-

y1

2(x1-1)

•

2(x1-1)-λ

λ

)
=(

3

2

•

λ+1

λ

，-

y1

2(x1-1)

•

2( 4 3 λ+ 5 4 -1)-λ

λ

)
=

λ+1

2λ

(

3

2

，

-y1

2(x1-1)

)
=

λ+1

λ

AM

．
令μ=

2λ

λ+1

，∴

AM

=

2λ

λ+1

MQ

=μ

MQ

故存在實數(shù)μ，滿足題設(shè)條件．

點評：本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了平行向量與共線向量，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了平面向量在解題中的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，考查了學(xué)生的計算能力，屬于高考試卷中的壓軸題．