Question

將一個長寬分別a，b（0＜a＜b）的長方形的四個角切去四個相同的正方形，然后折成一個無蓋的長方體形的盒子，若這個長方體的外接球的體積存在最小值，則

b

a

的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)出減去的正方形邊長為x，表示出外接球的直徑，對直徑的平方的表示式求導(dǎo)，使得導(dǎo)函數(shù)等于0，得到最小值，根據(jù)自變量的范圍求出結(jié)論．

解答：解：設(shè)減去的正方形邊長為x，
其外接球直徑的平方R²=（a-2x）²+（b-2x）²+x²
求導(dǎo)得（R²）'=18x-4（a+b）=0
∴x=

2

9

（a+b）
因為a＜b有x屬于（0，

a

2

）
所以0＜

2

9

（a+b）＜

a

2

∴1＜

b

a

＜

5

4

故答案為：（1，

5

4

）．

點評：本題考查函數(shù)的模型的選擇與應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是寫出直徑的平方的表示式，并且對解析式求導(dǎo)做出直徑的最小值．