Question

已知H（-3，0），點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，點(diǎn)M在直線PQ上，且滿足

HP

•

PM

=0，

PM

=-

3

2

MQ

．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動時，求點(diǎn)M的軌跡C；
（2）過點(diǎn)T（-1，0）作直線l與軌跡C交于A、B兩點(diǎn)，若在x軸上存在一點(diǎn)E（x₀，0），使得△ABE是等邊三角形，求x₀的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出M的坐標(biāo)，利用題意向量的關(guān)系，求得x和y的關(guān)系，進(jìn)而求得M的軌跡C．
（2）設(shè)直線l的方程，代入拋物線方程，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，則線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)以及AB的中垂線的方程可得，把y=0代入方程，最后利用△ABE為正三角形，利用正三角的性質(zhì)推斷E到直線AB的距離的關(guān)系式求得k，則x₀可求．

解答：解（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），
由

PM

=-

3

2

MQ

．得P(0，-

y

2

)，Q(

x

3

，0)，
由

HP

•

PM

=0，得(3，-

y

2

)•(x，

3y

2

)=0，
所以y²=4x由點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，得x＞0，
所以，動點(diǎn)M的軌跡C是以（0，0）為頂點(diǎn)，以（1，0）為焦點(diǎn)的拋物線，除去原點(diǎn)．

（2）設(shè)直線l：y=k（x+1），其中k≠0代入y²=4x，得k²x²+2（k²-2）x+k²=0①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是方程①的兩個實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理得x1+x2=-

2(k2-2)

k2

，x1x2=1
所以，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(

2-k2

k2

，

2

k

)，線段AB的垂直平分線方程為y-

2

k

=-

1

k

(x-

2-k2

k2

)，
令y=0，x0=

2

k2

+1，所以，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(

2

k2

+1，0)．
因?yàn)椤鰽BE為正三角形，所以，點(diǎn)E(

2

k2

+1，0)到直線AB的距離等于

3

2

|AB|，而|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

4 1-k2

k2

•

1+k2

．
所以，

2 3 1-k2

k2

=

2 1+k2

|k|

解得k=±

3

2

，所以x0=

11

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用，向量的基本性質(zhì)．考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．