Question

已知曲線(xiàn)y=

2

ex+1

，則曲線(xiàn)的切線(xiàn)斜率取得最小值時(shí)的切線(xiàn)被圓C：x²+y²=4截得的弦長(zhǎng)等于（　�。�

• A．

  4 5

  5

• B．

  2 5

  5

• C．

  8 5

  5

• D．

  6 5

  5

Answer 1

分析：由求導(dǎo)公式和法則求出導(dǎo)數(shù)并化簡(jiǎn)，再由e^x＞0和基本不等式，求出導(dǎo)數(shù)的最小值和切點(diǎn)坐標(biāo)，代入點(diǎn)斜式方程并化為一般式，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出圓心到切線(xiàn)的距離，再代入弦長(zhǎng)公式求出即可．

解答：解：由題意得，y′=

-2(ex+1)′

(ex+1)2

=

-2ex

(ex+1)2

=

-2

ex+ 1 ex +2

，
∵e^x＞0，∴ex+

1

ex

≥2

ex× 1 ex

=2，當(dāng)且僅當(dāng)ex=

1

ex

時(shí)取等號(hào)，此時(shí)x=0，
∴ex+

1

ex

+2≥4，則y′=

-2

ex+ 1 ex +2

≥-

1

2

，當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，
∴當(dāng)x=0時(shí)，曲線(xiàn)的切線(xiàn)斜率取最小值-

1

2

，則切點(diǎn)的坐標(biāo)（0，1），
∴切線(xiàn)的方程是：y-1=-

1

2

（x-0），即x+2y-2=0，
圓C：x²+y²=4的圓心（0，0）到切線(xiàn)的距離是

|-2|

1+4

=

2 5

5

，
∴切線(xiàn)被圓C：x²+y²=4截得的弦長(zhǎng)為2×

22-( 2 5 5 )2

=

8 5

5

，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，基本不等式求最值問(wèn)題，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式和弦長(zhǎng)公式等，考查了的知識(shí)點(diǎn)多，但是難度不大，需要熟練掌握公式并會(huì)運(yùn)用．