Question

已知函數(shù)f(x)=sin2x+2

3

sinxcosx+3cos2x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知f（α）=3，且α∈（0，π），求α的值．

Answer 1

分析：先把函數(shù)進(jìn)行化簡，f（x）=2sin（2x+

π

6

）+2
（1）-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤ 

π

2

+2kπ，k∈Z，解不等式可求
（2）把已知代入可得sin(2α+

π

6

)=

1

2

，求解即可．

解答：解：（1）f(x)=

3

sin2x+cos2x+2=2sin(2x+

π

6

)+2．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ；
得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ；．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-

π

3

+kπ ，  

π

6

+kπ ]  (k∈Z)．
（2）由f（α）=3，得2sin(2α+

π

6

)+2=3．
∴sin(2α+

π

6

)=

1

2

．
∴2α+

π

6

=

π

6

+2k1π，或2α+

π

6

=

5π

6

+2k2π（k₁，k₂∈Z），
即α=k₁π或α=

π

3

+k2π（k₁，k₂∈Z）．∵α∈（0，π），
∴α=

π

3

．

點(diǎn)評：本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性，還考查了三角公式中的二倍角及和差角公式的綜合運(yùn)用，在處理三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的問題時，常用整體思想，類比正（余）弦函數(shù)的性質(zhì)．