Question

已知函數(shù)f（x）=ax+1+

lnx

x

，其中a∈R．
（Ⅰ）若f（x）的定義域上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=xf（x）有唯一零點，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）f（x）的定義域上單調(diào)遞增，即f'（x）≥0對于定義域中的x都成立，再利用參數(shù)分離和恒成立思想，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)

lnx-1

x2

的最大值．
（Ⅱ）利用參數(shù)分離將問題轉(zhuǎn)化成

lnx-1

x2

有唯一正實數(shù)根，再通過求導(dǎo)的方式研究其性質(zhì)，注意到函數(shù)

lnx-1

x2

的導(dǎo)函數(shù)比較復(fù)雜，因此在研究時，可將導(dǎo)函數(shù)分成分子，分母來分別研究．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=a+

1-lnx

x2

=

ax2-lnx+1

x2

，
∴f'（x）≥0，?x＞0，∴ax²-lnx+1≥0，?x＞0，
∴a≥

lnx-1

x2

                      
令h（x）=

lnx-1

x2

，則h'（x）=

1 x x2-2x(lnx-1)

x4

=

3-2lnx

x3

=0有根：x0=e

3

2

，
當(dāng)x∈（0，x₀），h'（x）＞0，函數(shù)h（x）單增；
當(dāng)x∈（x_0，+∞），h'（x）＜0，函數(shù)h（x）單減
∴a≥(h(x))max=h(x0)=

1

2e3

（Ⅱ）由題g（x）=xf（x）=ax²+x+lnx=0，即a=

-x-lnx

x2

有唯一正實數(shù)根；
令φ（x）=

-x-lnx

x2

，即函數(shù)y=a與函數(shù)y=φ（x）有唯一交點；
φ′（x）=

(-1- 1 x )x2-(-x-lnx)2x

=

x-1+2lnx

x3

；
再令R（x）=x-1+2lnx，R'（x）=1+

2

x

＞0，?x＞0，且易得R（1）=0，
故當(dāng)x∈（0，1）時，R（x）＜0，φ′（x）＜0，函數(shù)φ（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，R（x）＞0，φ′（x）＞0，函數(shù)φ（x）單調(diào)遞增；
即φ（x）≥φ（1）=-1
又當(dāng)x→0時，φ（x）→+∞，
而當(dāng)x→+∞時，φ（x）→0且φ（x）＜0，
故滿足條件的實數(shù)a的取值范圍為：{a|a≥0，或a=-1}．

點評：參數(shù)分離是恒成立問題中常用的技巧方法，在本題的兩個小問中都是將問題轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵，值得一提的是在用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)性質(zhì)時，當(dāng)所求的導(dǎo)函數(shù)形式比較復(fù)雜時，可以考慮分別去研究函數(shù)的性質(zhì)，例如本題的導(dǎo)函數(shù)中，是個分式的形式，通過分別對分子、分母求導(dǎo)來簡化計算．