Question

17．若函數(shù)f（x）滿足下面兩個條件：①是定義在R上的奇函數(shù)，②對任意的x∈R，都有f（x-1）≤f（x），則我們把這個函數(shù)f（x）叫做漂亮函數(shù)．
已知漂亮函數(shù)f（x）在x≥0時，有f（x）=$\frac{1}{2}$（|x-a²|+|x-2a³|-3a²），則實數(shù)a的取值范圍為{-1，0}．

Answer 1

分析 由f（0）=$\frac{1}{2}$（|0-a²|+|0-2a³|-3a²）=0可解得a=0或a=-1或a=1，從而分類討論即可．

解答 解：∵f（x）在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=$\frac{1}{2}$（|0-a²|+|0-2a³|-3a²）=0，
∴a=0或a=-1或a=1，
若a=0，則f（x）=x，（x≥0）；
故f（x）=x，x∈R；
故對任意的x∈R，都有f（x-1）≤f（x），
故f（x）是漂亮函數(shù)；
若a=1，則f（x）=$\frac{1}{2}$（|x-1|+|x-2|-3）（x≥0），
f（0）=0，f（1）=-1，故不成立；
若a=-1，則f（x）=$\frac{1}{2}$（|x-1|+|x+2|-3）（x≥0），
故f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-1，x≥1}\\{0，-1＜x＜1}\\{x+1，x≤-1}\end{array}\right.$，
故f（x）是漂亮函數(shù)；
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為{-1，0}；
故答案為：{-1，0}．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性的應用及學習能力，同時考查了分類討論的思想應用．