Question

20．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，PA=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$a，AD=2a．
（1）若AE⊥PD，E為垂足，求異面直線AE與CD所成角的余弦值；
（2）求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的正切值．

Answer 1

分析 （1）法一（幾何法）：
過點E作EM∥CD交PC于M，連接AM，則AE與ME所成角即為AE與CD所成角．由此能求出異面直線AE與CD所成角的余弦值．
法二（向量法）：
建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，利用向量法能求出異面直線AE與CD所成角的余弦值．
（2）求出平面PAB的一個法向量和平面PCD的一個法向量，利用向量法能求出平面PAB與平面PCD所成銳二面角的正切值．

解答 解：（1）法一（幾何法）：
過點E作EM∥CD交PC于M，連接AM，
則AE與ME所成角即為AE與CD所成角．
在Rt△PAD中，∠PAD=90°，
由$\frac{AD}{PA}=\sqrt{3}$，得∠PDA=30°，∴$PD=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}a$．
∴AE=AD•sin30°=a．
∵$PE=\frac{{P{A^2}}}{PD}=\frac{{{{（{\frac{{2\sqrt{3}}}{3}a}）}^2}}}{{\frac{{4\sqrt{3}}}{3}a}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$，$CD=\sqrt{2}a$．
∴$ME=\frac{CD•PE}{PD}=\frac{{\sqrt{2}a•\frac{{\sqrt{3}}}{3}a}}{{\frac{{4\sqrt{3}}}{3}a}}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}a$．
連接AC，∵在△ACD中，AD=2a，$AC=\sqrt{2}a$，$CD=\sqrt{2}a$，
∴AD²=AC²+CD²，∴∠ACD=90°，∴CD⊥AC，∴ME⊥AC．
又∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，∴ME⊥PA．∴ME⊥平面PAC．
∵M(jìn)A?平面PAC，∵M(jìn)E⊥AM．
∴在Rt△AME中，$cos∠MEA=\frac{ME}{AE}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．
∴異面直線AE與CD所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．
法二（向量法）：
如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則A（0，0，0），B（a，0，0），$E（{0，\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}a}）$，C（a，a，0），D（0，2a，0），$P（{0，0，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}a}）$，
$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{1}{2}a，\frac{\sqrt{3}}{2}a$），$\overrightarrow{CD}$=（-a，a，0）．
設(shè)AE與CD所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{{0×（{-a}）+\frac{1}{2}a•a+\frac{{\sqrt{3}}}{2}a•0}}{{\sqrt{{0^2}+{{（{\frac{1}{2}a}）}^2}+{{（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}a}）}^2}}•\sqrt{{{（{-a}）}^2}+{a^2}+{0^2}}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
∴異面直線AE與CD所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．
解：（2）由題設(shè)知，CB⊥AB，CB⊥PA，則CB⊥平面PAB．
∴平面PAB的一個法向量為$\overrightarrow{BC}$=（0，a，0）．
設(shè)平面PCD的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{PC}$=（a，a，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a），$\overrightarrow{CD}$=（-a，a，0），∴由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{PC}$=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{CD}$=0．
得$\left\{\begin{array}{l}ax+ay-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}az=0\\-ax+ay=0.\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}x=y\\ z=\sqrt{3}y.\end{array}\right.$，令y=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，$\sqrt{3}$）．
設(shè)平面PAB與平面PCD所成的銳二面角為α，
則cosα=$\frac{|\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{BC}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{{0×1+a×1+0×\sqrt{3}}}{{\sqrt{{0^2}+{a^2}+{0^2}}•\sqrt{{1^2}+{1^2}+{{（{\sqrt{3}}）}^2}}}}=\frac{a}{{a•\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．
∴tanα=2．
∴平面PAB與平面PCD所成銳二面角的正切值為2．

點評 本題考查異面直線所成角的求法，考查二面角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．