已知函數(shù)g1(x)=lnx,g2(x)=
12
ax2+(1-a)x(a∈R且a≠0).
(1)設(shè)f(x)=g1(x)-g2(x),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù)g1(x)的圖象曲線C1與函數(shù)g2(x)的圖象c2交于的不同兩點(diǎn)A、B,過線段AB的中點(diǎn)作x軸的垂線分別交C1、C2于點(diǎn)M、N.證明:C1在M處的切線與C2在N處的切線不平行.
分析:(1)依題意,f(x)=lnx-
1
2
ax2+(a-1)x,f′(x)=-
a(x-1)(x+
1
a
)
x
,對(duì)a分a>0,a=0與a<0,三類討論,對(duì)a<0再根據(jù)1與-
1
a
的大小關(guān)系分三類討論即可求得答案;
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),且不妨設(shè)0<x1<x2,則lnx1-lnx2=[
1
2
a(x1+x2)+1-a](x1-x2),假設(shè)C1在M處的切線與C2在N處的切線平線,則有
2
x1+x2
=
1
2
a(x1+x2)+1-a,與前式聯(lián)立可得:
lnx2-lnx1
x2-x1
=
2
x1+x2
,設(shè)
x2
x1
=t,(t>1),則lnt+
4
t+1
=2,構(gòu)造函數(shù)g(t)=lnt+
4
t+1
,可判斷g(t)在(1,+∞)上遞增,g(t)>2恒成立.從而可證明C1在M處的切線與C2在N處的切線不平行.
解答:解:(1)∵f(x)=lnx-
1
2
ax2+(a-1)x
∴函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞)…(1分)
由已知得f′(x)=
1
x
-ax+a-1=-
a(x-1)(x+
1
a
)
x
,…(2分)
①當(dāng)a>0時(shí),令f′(x)>0,解得0<x<1; 令f′(x)<0,,解得x>1.
∴函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減…(3分)
②當(dāng)a<0,時(shí)
①當(dāng)-
1
a
<1時(shí),即a<-1時(shí),令f′(x)>0,解得0<x<-
1
a
或x>1;
令f′(x)<0,解得-
1
a
<x<1.
∴函數(shù)f(x)在(0,-
1
a
)和(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(-
1
a
,1)上單調(diào)遞減…(4分)
②當(dāng)-
1
a
=1時(shí),即a=-1時(shí),顯然,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增…(5分)
③當(dāng)-
1
a
>1時(shí),即-1<a<0時(shí),令f′(x)>0,解得0<x<1或x>-
1
a
;
令f′(x)<0,解得1<x<-
1
a

∴函數(shù)f(x)在(0,1)和(-
1
a
,+∞)上單調(diào)遞增,(1,-
1
a
)上單調(diào)遞減…(6分)
綜上所述,(1)當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減;
(2)當(dāng)a<-1時(shí),函數(shù)f(x)在(0,-
1
a
)和(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(-
1
a
,1)上單調(diào)遞減;
(3)當(dāng)a=-1時(shí),函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
(4)當(dāng)-1<a<0時(shí),函數(shù)f(x)在(0,1)和(-
1
a
,+∞)上單調(diào)遞增,(1,-
1
a
)上單調(diào)遞減…(7分)
(2)證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),且不妨設(shè)0<x1<x2,則
y1=lnx1=
1
2
ax12+(1-a)x1…①
y2=lnx2=
1
2
ax22+(1-a)x2…②
由①-②得:lnx1-lnx2=[
1
2
a(x1+x2)+1-a](x1-x2)…③
假設(shè)C1在M處的切線與C2在N處的切線平線,則有
2
x1+x2
=
1
2
a(x1+x2)+1-a,
代入(3)化簡(jiǎn)可得:
lnx2-lnx1
x2-x1
=
2
x1+x2

即ln
x2
x1
=
2(x2-x1)
x2+x1
=
2(
x2
x1
-1)
x2
x1
+1
,
設(shè)
x2
x1
=t,(t>1),上式化為:lnt=
2(t-1)
t+1
=2-
4
t+1
,…(11分)
即lnt+
4
t+1
=2…(12分)
令g(t)=lnt+
4
t+1
,g′(t)=
1
t
-
4
(t+1)2
=
(t-1)2
t(t+1)2
,
∵t>1,顯然g′(t)>0,
∴g(t)在(1,+∞)上遞增,
顯然有g(shù)(t)>2恒成立.
∴在(1,+∞)內(nèi)不存在,使得lnt+
4
t+1
=2成立.
綜上所述,假設(shè)不成立.
∴C1在M處的切線與C2在N處的切線不平線…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想,方程思想的綜合運(yùn)用,考查反證法,屬于難題.
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n
i=1
gi(x)(n∈N*)
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(符號(hào)“
n
i=1
”表示求和,例如:
n
i=1
i=1+2+3+…+n
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1
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