Question

9．與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1有相同漸近線，且與橢圓$\frac{y^2}{8}+\frac{x^2}{2}=1$有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程是（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• B． $\frac{{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1
• D． $\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1

Answer 1

分析 由橢圓方程求出橢圓及雙曲線的半焦距，設(shè)出與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1有相同漸近線的雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=λ，化為標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合雙曲線中的隱含條件求得λ值，則答案可求．

解答 解：由$\frac{y^2}{8}+\frac{x^2}{2}=1$，得a²=8，b²=2，
∴c²=6，得c=$\sqrt{6}$，
即橢圓的半焦距為$\sqrt{6}$．
設(shè)與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1有相同漸近線的雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=λ，
∵所求雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，則λ＜0，
雙曲線方程化為：$\frac{{y}^{2}}{-λ}-\frac{{x}^{2}}{-2λ}=1$，
設(shè)雙曲線的實(shí)半軸長為m，虛半軸長為n，
則m²=-λ，n²=-2λ，
∴${m}^{2}+{n}^{2}=-λ-2λ=（\sqrt{6}）^{2}$，解得：λ=-2．
∴所求雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{2}-\frac{{x}^{2}}{4}=1$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，掌握與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$有共同漸近線的雙曲線方程的設(shè)法是關(guān)鍵，是中檔題．