Question

（2007•浦東新區(qū)二模）兩個相同的正四棱錐底面重合組成一個八面體，可放于棱長為1的正方體中，重合的底面與正方體的某一個面平行，各頂點(diǎn)均在正方體的表面上，把滿足上述條件的八面體稱為正方體的“正子體”．
（1）若正子體的六個頂點(diǎn)分別是正方體各面的中心，求此正子體的體積；
（2）在（1）的條件下，求異面直線DE與CF所成的角．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)檎�子體的各個頂點(diǎn)是正方體各面的中心，可得AB的值，可得正四棱錐E-ABCD的底面積S=|AB|2=

1

2

，且高h=

1

2

，從而求得正子體體積．
（2）記正方體為MNGH-M₁N₁G₁H₁，記棱MN中點(diǎn)為P，MM₁中點(diǎn)為Q，則PQ∥FC，DM₁∥PQ，所以DM₁∥FC，故異面直線DE與CF所成的角即為∠M₁DE．解三角形求得∠M₁DE的值．

解答：解：（1）因?yàn)檎�子體的各個頂點(diǎn)是正方體各面的中心，
所以|AB|=

( 1 2 )2+( 1 2 )2

=

2

2

．-------（2分）
故正四棱錐E-ABCD的底面積S=|AB|2=

1

2

，且高h=

1

2

，------（5分）
故正子體體積V=

1

3

Sh×2=

1

3

×

1

2

×

1

2

×2=

1

6

．---------（7分）
（2）記正方體為MNGH-M₁N₁G₁H₁，
記棱MN中點(diǎn)為P，MM₁中點(diǎn)為Q．-------（8分）
則PQ∥FC，DM₁∥PQ，所以DM₁∥FC．--------（10分）
異面直線DE與CF所成的角即為∠M₁DE．----------（11分）
又因?yàn)?span id="tytkjki" class="MathJye">DE=DM1=EM1=

2

2

，故∠M₁DE=60°，--------（14分）
異面直線DE與CF所成的角為60°．

點(diǎn)評：本題主要考查求棱錐的體積，異面直線所成的角的定義和求法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．